無窮彈性碰撞

這是一篇看起來就很唬爛的學術性文章,裡面竟然在嘗試同時用古典力學[1]和量子力學[2]解釋一個人類根本就無法理解的狀況。
在這裡我要先做出聲明,這並不是普通艱深與普通唬爛程度的文章,裡面也並沒有使用詭辯、沒有融入任何悖論,並且會消耗大多數的腦細胞,如果想要完全看懂並提出反駁請先理解
內文中提到的許多原理及理論,在文末會附上註解提供外連,定義部分以及計算過程也會盡可能的附在文末,建議想看懂本文的人要先確定自身已經瞭解文內提到的細節。
首先,直接進入本文的題目:如果有一顆球,從高處落下,與地面碰撞反彈後又落下反彈如此往復進行,它會不會停?單看此題目敘述十分簡顯易懂,但是現在要開始做出比題目還長的補充:假設此小球非常小,在此以一原子來做替代,但為了理解方便後文還是以球代稱。地面質量十分龐大,在此以地球來做替代,不考慮空氣阻力,直接去掉大氣層的存在。但是並不忽略所有其他的因素及外力。
現在要討論的是,這顆球到底「會不會停」?先考慮現實生活中,無論多麼大力丟球,球都會停下來,我們可以理解這是因為空氣阻力的存在,加上地球質量遠大於小球的質量造成。但是現在沒有了空氣阻力,我必須先解釋本文考慮的因素非常細微,提出一個極端的例子:如果兩個無氫鍵[3]的原子在無外力的狀況下相互因萬有引力接近後又因電子的靜電力彈開,如此重複,會呈現簡諧運動[4]並永遠不會停止,而兩原子的平衡點便是斥力與引力相等的位置。
回到文中的狀況,為什麼地球與小球就不會進行這樣的簡諧運動了呢?其實還是會的,只是質量相差太過懸殊,振幅太過微小無法觀察,但是,在文中還是不會忽略此種狀況。
看過以上例子後相信各位可以理解這是不會停止的簡諧運動,但是回到此段第一句的問題,也就是這顆球永遠不會停?這時候必須再引入量子力學中的「震盪[5]」,在大部分科學家的眼中,所謂的「靜止」基本上就是不考慮原子在原地做微小的震盪,換句話說,原子在原地做微小的震盪還是可以算是靜止的。
這時候各位大概可以了解我要表達的是什麼,在這裡我把「靜止」的定義做出不包括震盪的補充。直接切入原題後也就是這顆球「會停」,而且根據定義是在彈起的高度(振幅)不大於震盪的振幅時稱做「停」。
但是這時候又產生了一個問題,這個簡諧運動為什麼又會停了呢?根據剛剛的敘述這應該是個永遠不會停止的簡諧運動,在這裡我要提醒各位再度回到巨觀的世界中,兩物體簡諧運動的振幅通常是在「振幅小於兩物平衡點距離」下做討論的吧,因為在巨觀世界中振幅不能大於兩者的距離,否則那便是碰撞的情況而不是簡諧運動了。因此再回到原子的世界中,這個簡諧運動的前提也就是振幅要夠小才行。
文章至此終於定義告一段落,並解釋完部份的原理。
撰稿至此,赫然發現「震盪」其實就是量子力學中的「共振」,但經過確定後兩者可以通用。
這時候如果要進入題目的計算,想必必須要先得知震盪的振幅,才能算出在什麼時候此反彈才會停止,但是若要算出共振的振幅,可以透過一個與線性震盪器類似的公式[6]求得,但是這又會牽扯入兩個反彈的原子的特性,包括公式內所需要的的衰變率(Γ)及質量(竟是以複數M+iΓ的形式來做計算)
所以在這邊直接再引入「測不準原理[7]」,測不準原理並不只是在「測」中出現,而是物質本身就具無法確定的不確定性,所以也稱為「不確定性原理」,因此本題中雖不考慮觀測者及觀測方法的因素,仍然可以適用此原理。
根據測不準原理直接導出的結論,如果物體運動的位置變化如果在小於約化蒲朗克常數[8]的一半時,這便是沒有意義的(或說做無法觀測的),所以我們可以直接做出結論:振幅小於蒲朗克常數的一半時便是靜止。
現在終於可以進入原題目的計算,以下自行假設實際狀況。
假設小球是一個碳(12C)[9]原子,質量為12amu=1.992646632*10-26kg,初落下高度為1公里,反彈的恢復係數[10]e=0.5,也就是碰撞後的速率變為碰撞前的一半,計算後得到彈起的高度會是落下高度的1/4
速度變化為:1st落下末速為140m/s2nd落下末速為一半70m/s…類推。
n次落下末速為140/2n-1
落下高度變化:1st落下1000m2nd落下2503rd落下125/24th落下125/8…類推。
故:1000Σn=0 1/(4n),當然不會是無限而是暫用這個符號來表示,這是個收斂的級數,每項會趨近於0,第n項為1000/4n-1
設第n項動量與位置的乘積小於約化蒲朗克常數的一半(5.272858409*10-35),代入公式[11]得到n>17.6(計算過程[12]),意即第17次彈跳後停止。
令人驚訝的是,這時候的速度還有0.159cm/s,而高度有58207.66皮米[13](碳原子半徑為67皮米),即已經「測不準」了。
(此段與本文只有少許關聯)在這邊順道計算一些其他東西彈跳的n值,先把算式整理成公式後:n>LOG10(16*M*H*SQRT(2*9.8*H)/h)/(3*LOG10(2))(可直接複製至excel用,M=質量(kg)H=高度(m)h=約化蒲朗克常數)
可以得到有趣的數字:

–>

質量M
落下高度H
n最小整數值
1公克
1公分
35
1公斤
1公尺
42
1公噸
1公里
50
地球質量
地球半徑
80
太陽質量
1AU
94

–>

(當然了,後面兩項並不是帶入公式這麼單純的,純屬趣味。)
計算的部分先告一段落,現在進入無限的領域,理論上來講,雖然我們定義他停了,但是它可能還會繼續不斷的細微運動(或是共振),所以這跳到了另一個問題:到底要多久才會停?現在只考慮牛頓力學的部分,根據力學能守恆我們可以計算出第n次的反彈速度為en(2gh)1/2,第n次反彈後在空中停留的時間為2en(2h/g)1/2,總時間為T=(2h/g)1/2(1+2Σn=1en)=(1+e/1-e)(2h/g)1/2e為恢復係數 (計算[14])
所以現在根據前文討論的結果,總時間為T,但是我們知道落下的高度會逐漸趨近於0,但卻永遠不會為0→所以它永遠不會停,因為永遠可以落下。
再回到純數學的部分,剛剛算出的T時是總時間,因此我們知道第k+1次會比第k次的時候更接近T,第k+2次也會比第k+1次的時候更接近T…類推,此級數會不斷逼近T卻永遠不會到達,這十分類似於阿基里斯與烏龜賽跑的悖論[15]
這時候回到現實,如果我們坐著時光機直接跳到T時去,看到的到底會是什麼呢?
很明顯,這是一個無窮級數的不可靠之處,根據公式可以求出一個確切的數值,但其實也可以說這數值並不存在或沒有意義。
要破解這道謎題,就必須再往回看,把前文提到的測不準原理一併應用進去,這便是為什麼這是同一篇文章的理由。
根據古典力學、牛頓力學它會永遠運動。
根據測不準原理、量子力學它會停。
根據無窮數列、無窮級數它不會停,但可以求總時間逼近值。
」表示根據得到。
這些東西單獨看都不好理解,但大家卻習以為常;合再一起看不可置信,卻又合乎邏輯,因為定義各自不完整,但合在一起後卻可以相互補充。
至於如果你要問我關於無窮的問題,我會說「人的理解是有限的,所以無法探討無限的問題」來帶過,雖然敷衍,但是這才是最正確的解釋。
註釋:
[1] 古典力學:以牛頓運動定律為基礎,在巨觀世界和低速狀態下,研究物體運動的基要學術。
[2] 量子力學:描寫微觀物質的一個物理學理論,與相對論一起被認為是現代物理學的兩大基本支柱,許多物理學理論和科學如原子物理學、固體物理學、核物理學和粒子物理學以及其它相關的學科都是以量子力學為基礎。
[3] 氫鍵:是分子間作用力(凡得瓦力)的一種,是一種永久偶極之間的作用力。
[4] 簡諧運動:進行簡諧運動時,物體所受的力跟位移成正比,並且力總是指向平衡位置。
[5] 共振:量子力學與量子場論中,共振可能出現在與古典物理相似的場合。
[6] Γ是粒子衰變率,而Ω由粒子質量M取代,頻率為ω
[7] 測不準原理:指在一個量子力學系統中,一個粒子的位置和它的動量不可被同時確定。
[8] 約化蒲朗克常數
[9] :非金屬元素,位於元素周期表的第二周期IVA族。它的化學符號是C,它的原子序數是6,電子構型為[He]2s22p2
[10] 恢復係數:兩個物體在碰撞時,恢復期與形變期的衝量的比率稱為恢復係數。
[11]
[12] 質量以M表示,約化蒲朗克常數的一半以h’表示,則:
M*(19600/2n-1)*( 1000/4n-1)>=h’ (移項並整理)
→23n>(1.568*108*m)/h’ (同取log2後除以3)
→n>log(1.568*108*m/h’)/3log2
代入原式mh後得到n>18.5726。
[13] 皮米:皮米(picometerpm)是長度單位,1皮米相當於1米的一兆(即一萬億)分之一。有時在原子物理學中稱為微微米(micromicron
[14] 第一次與地面接觸時的速度 v0=(2gh)1/2
第一次反彈速度 v1=ev0
第二次反彈速度 v2=ev1
n次反彈速度vn=evn-1 vn=evn-1=e2vn-2=…=env0=en(2gh)1/2
n次觸地後停留空中時間 tn=2vn/g=en(2h/g)1/2
總時間 T= (2h/g)1/2(1+2Σn=1en)=(1+e/1-e)(2h/g)1/2
[15] 阿奇里斯悖論:動得最慢的物體不會被動得最快的物體追上。由於追趕者首先應該達到被追者出發之點,此時被追者已經往前走了一段距離。因此被追者總是在追趕者前面。
本文題目及[14]解法來自:《1994~2009年國際物理奧林匹亞競賽國家代表隊選拔考試 初選試題及解答彙編》,p.36第十題。
有關無窮級數的某小部分想法來自:《毛起來說三角》,Eli Maor,湖守仁譯,天下遠見出版股份有限公司。
在此感謝我的暑假作業。
另外,本文構思、撰稿、查資料、複審、校稿共花了至少七個小時,感謝您閱讀至此,歡迎提出批評及修正。

特異功能之激發

有種說法:古代人類有特異功能,是為了避開危險。個人認為其實那並不特異,只是現代人已退化罷了,因為人的安全需求愈來愈容易滿足,在危險之上的注意力也更加的不足夠,這同時也是近年社會意外發生率不斷提高的原因之一。

但此種說法似乎違法達爾文的天演論而接近拉馬克的用進廢退說,事實不然,在現代社會中,有極佳特異功能者只會被認為異類,人類會演化成如今必有其道理,據推測,太過於強大的感應能力,對逃避危險並不有益,甚至於有害,人類便逐漸演化成特異功能減少的原始樣子,在此同時,人類學會用火,安全需求大大被滿足,感應能力也更不需要,便逐漸退化掉而成歷史。

至於有出現過的特異功能,舉例來說:有人可隔空移動物品,或許再過去這種能力被用來移動危險的事物。有人可以騰空浮起,對逃避危險也頗有幫助。
若以人文觀點來講,心眼等相關讀心術名詞,以白話解釋,就是可看透人心的讀心術,在古代紛紛擾擾的人類社會中,爾虞我詐自然是產生此特異功能最好的環境。

在現代人類中,雖只有極少數人可以展現出特異功能,但我認為大部分人都還是有的,應可藉由某種管道的刺激而展現出來,也許是要在極危險的環境,或必須從小於佈滿危險處成長,一但人類可找出激發潛能之管道,人類應可製造更大的突破超越工業革命,將為人類歷史的一大轉捩點。

注意集中處反映慾望

安全匱乏者,擅長察覺危險;喜好自然者,常聽到鳥叫聲;追求錢財者,常聽到掉錢聲;渴望愛情者,容易感應異性目光。

要察覺一個人想要什麼,先觀察他常注意到的東西是什麼。想要對事物的敏感度增加,先開始去在意那件事物。意即為注意集中處反映慾望

若你時常注意某一位異性,很可能在不久之後便有可能會愛上他,就是如此道理,這已牽扯到另一個實驗,暫且不提。因此,若在分手後想忘了另一個人,你便不可時常去注意到他,相對道理。

宗教足以改變求生信念?

佛教創始於西元前8世紀,印度教西元前6世紀,基督教西元元年,伊斯蘭教西元七世紀。
此為世界前四大宗教,信仰人口極多,若只已有傳誦至今的宗教來看,西元前八世紀最早,至今二十一世紀,前四大宗教全在前八至二十一這約3000年間的前1500年(前八至七),便發展出了四大宗教,以人類歷史如此短的時間,為何在伊斯蘭教出現後的14世紀間未出現更繁盛的宗教信仰?

清末發生於中國的義和團事變,是何種力量使拳民認為自己刀槍不入,足以和外國新式武器對抗而引發八國聯軍?如此無法相信之宗教竟可使信仰者能奮不顧生,去挑戰已理智無法諒解之事?
11至13中世紀間的十字軍東征,又是何種力量使基督教徒可奮不顧生前往收復聖地耶路撒冷?第二次慘敗後竟還有動力繼續前進而製造了八次東征,宗教真有如此強大之力足以改變求生信念?
又試想2003年發生於美國的九一一事件,回教徒竟一改平時和平觀念,而願意劫機犧牲多人性命,只為引起世人關注,想讓原屬於阿拉伯人的聖地回到領土中?

宗教信仰?

根據本我、自我、超我之人格理論,我推測宗教應是可改變本我(代表求生意念及生理需求),增加超我(理想、社會道德標準..)影響人之行為,簡單來說,宗教為一降低本我影響力而提高超我之理念。

至於如何辦到..思考中…

在某處有能量轉換為質量

根據E=MC平方,質能可以互換。

全宇宙觀點:
世界上恆星進行核融合及人類使用核分裂發電皆是在消耗世界上的質量,根據能量不滅,能量並不會無端損失,只轉換成熱能散失,那麼所有散失的熱能又散失何方?
宇宙至少一百億年歲月,質量還未損失完,能量又不斷在散失,故我推測,在某處有能量轉換為質量,意為E=MC平方為一可逆反應。

試著證明:假設質量可轉換為能量,能量不可轉換為質量。那麼所有質量總有消耗殆盡的一天(不論宇宙是否有足夠時間始質量消耗完畢),能量將會充斥於整個宇宙,宇宙也將成未一純粹充斥能量的空間,這使得能量已無存在意義。意謂所有物質終將消失。
從此推論可推測,所謂宇宙誕生前的一團火球只是「能量」,從此之後質量開始轉為能量(正反應),能量同時又變回質量(逆反應),在宇宙誕生前期,正反應極大於逆反應。在轉換為能量的同時,熱能向外逸失,使宇宙不斷膨脹,產生「空間」。

針對宇宙後期會開始收縮或繼續無限膨脹之理論:在宇宙後期此反應因空間不斷增大,能量的結合將會減少,正反應減少,又根據萬有引力定律,轉換後的質量會不斷集中結合,至後期因密度過低的能量,逆反應速率將急遽增加,能量轉換為質量的速率遠大於質量轉換為能量的速率,質量不斷集中、能量不斷減少將使得空間隨著變化而縮小,至最後期,將會形成一無空間可言的「質量」,又瞬間轉為能量回到宇宙誕生之初。故我認為宇宙是會縮小而不是無限膨脹。

在下淺見,純粹用國中生所學到知識判斷推測,無法確保其正確性及參考價值,若有任何想法及意見還請不吝指教,謝謝。

—20100808
在《牛頓》雜誌第34號第44.45頁提到了部分幾乎相同的概念。
以下為引用:「宇宙之始,並沒有任何可稱為物質的東西]。根據目前所瞭解的理論推測,當時的宇宙只是真空,充滿了不明身分的能量。該能量讓宇宙以急遽的速度膨脹,這就是所謂的『暴漲』。但是,暴漲突然結束了。而在此之前讓宇宙急速膨脹的能量,因為E=mc^2而轉換為質量的型態。就這樣,宇宙中誕生了物質。這就是宇宙最早發生的事件,亦即『大霹靂』。如此所產生的物質就是恆星、地球和我們的身體等等。現在連我們從哪裡來,都可以用愛因斯坦的關係是來說明。」

An Academic Geek