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人生說明書

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本文已於2014/02/12更新第二版，請參考人生說明書 v2。

人生Online Live

單一伺服器  現實世界版
全球7173476400人同時在線

前言

        看標題會讓人一頭霧水，但這篇文章的目的非常簡單，就是說明什麼是人生。文內有一些數學計算、部分的定義及白話的文字說明，公式的部分希望有興趣的人能慢慢細讀，結論部分繁雜但可能有助理解全文。敬請指教。

遊戲簡介

        這是一個比線上遊戲還殘酷的真實遊戲，在這遊戲中，輸了不一定是死了；死了也不一定輸了。每個玩家控制亦代表一個人，每個人擁有需要自行摸索的能力、長處與缺陷。
        這個遊戲可能是個陣營遊戲，也可能是個單挑遊戲，屬於即時策略遊戲，亦不排除格鬥場景。考驗的是駕駛者的智力、反應力、靈敏度、策略設計、計算能力、學習能力、社交能力等全方位能力。

遊戲目的

        在遊戲的不同階段，每個人的目的也不同。大致上來說，玩家可以同時達成、訂立多個目標，而最基本的目的則是安全存活。
        其他常見的目的如：得到安定生活、成家立業、生兒育女、家財萬貫、受人景仰等等。簡而言之，玩家可以自訂想要的目的，也能隨時改變。
註：雖基本目的通常是存活，但仍有例外情形可以放棄此目標。

勝利方式

        遊戲的勝利方式不受玩家訂定的目標所影響，因為這是個無法勝利的遊戲。

遊戲初始配件

  • 人體（可能有所缺陷）。
  • 家庭（可能有所缺陷）及其附件如：家產、前輩經驗知識。

遊戲回合

        通常定一年為一回合，因為在這個遊戲中，每人所擁有的條件都是不相同的，唯一相同的條件就是每天都是二十四小時，遺憾的是，每人回合數仍然是不相同的。

計分方式

        在人生中，所有行為皆有其價值，有些是立即性的報酬，有些可能是持續性的投資。而所謂的行為，包含動作、思考或任何不屬於以上兩者的耗時行動。只要是耗時行動，在人生中就是可評估、有其價值的。
        任何行為的價值，並非由特定一或多人決定，計算出的結果也不是永久不變的。

行為價值

        為衡量玩家在遊戲中的人生價值，因此需要將玩家所有行為的價值量化。根據玩家對於自己與他人所認為的重要程度進行加權平均，公式如下：
其中：V表示所有人對此人的加權平均評價，Vi表示第i人對此人此行為評價，Pi表示第i人對此人的重要性加權，m表示總人數。
舉例
        某人拾金不昧，他本人認為此行為價值V0=105，他的情人認為此行為價值V1=110，所有其他人認為此行為V2~m=100。他較在意他情人對他的看法，因此情人加權為P1=2倍，他較不在意他人對他的看法，因此他人加權為P2~m=0.9，本人為P0=1。
        拾金不昧行為價值=(105*1+110*2+100*0.9)/(1+2+0.9)=106.41。
註：以上皆為他本人的觀察角度，因為此遊戲無法獲勝，雖在計算中要考慮別人的看法，但實際觀察角度永遠以自身為準。

行為期望值

        玩家在面臨選擇時大多依賴期望值作出選擇，而期望值則由作出選擇後可能發生的情形的代價乘上發生機率加總。
註：行為期望值與行為價值的不同之處為行為期望值只適用於行動前的評估，而行動後只需使用行為價值做計算。因此可能行為期望值極高，結果行為價值極低。

人生價值

        有些人認為，在人生結束之時，便是結算點；有些人認為，在壯年時期事業最高峰，才是結算點。而結算角度雖皆從自身出發，但仍須考慮其他人對其的加權。
詳細計算過程為：
1.    設定結算時段[0, T]。
2.    將結算時段分割成n等分，第i等分t=iT/n。
3.    計算出t瞬間所有人對此人的加權平均評價V(t)。
4.    將所有瞬間的V(t)以不同時間做加權平均。
因此公式如下：

其中：V(t) 表示在時刻t所有人對此人的加權平均評價，Vi表示第i人對此人評價，Pi表示某人對此人的重要性加權，m表示總人數。W表示某瞬間的時間重要性加權，T是結算終點，n表示將此時段[0, T]分割成n等分。
舉例
        某人將人生分成三段計算：青年、壯年、老年，其中他特別在意壯年時期在他整體人生中的重要性，其次是老年，因此他的時間重要性加權分別1，1.5，1.2。而在這三段時期內，他本人對於他的評價分別是100，150，80，他本人的重要性加權為1。他的伴侶對他的評價分別是120，130，80，伴侶對他的重要性加權為1.2。他的家人對他的評價分別是100，200，80，家人的重要性加權為0.9，忽略剩餘的其他人，假設他的壽命為100歲亦訂為結算終點。
表格整理如下：
n=3
　
青年
壯年
老年
　
　
W(100/3)=1
W(200/3)=1.5
W(300/3)=1.2
本人
P0=1
100
150
80
伴侶
P1=1.2
120
130
80
家人
P2=0.9
100
200
80
人生價值計算：
        故假如此人的評分標準足夠客觀，且以所有人平均值為100，此人人生價值為118.62，高於100，便可說此人擁有成功的人生。
註：亦可說成功的人生定義為人生價值大於100。這樣的觀點仍是來自於他本人，正因如此，這是個無法勝利的遊戲。有可能所有人都認為他是個失敗的人生，只有他自己評價成功，但事實成功於否無法論定。

結論

        若單純只是看內容，應該很難理解在講什麼，有時候我們會想，到底怎樣是成功，家財萬貫、成家立業，好像都符合大家的期望，但有些人默默無名，依然活得很快樂，難道是快樂第一嗎？事實上，滿足快樂只是一部分的慾望，這端看一個人認定的目標為何。在這篇文章中，我直接省略其他角度的觀點，因為深入的討論這個是沒有意義的，畢竟這個遊戲永遠無法獲勝，所以重點鎖定在一個人對自己的看法，但又不能排除其他人對自己的看法，所以出現加權平均，特別的是加權的量也是由自己所掌控的。我們可以把這當做對人生的體悟，如果想通了、也認同這樣的說法，可以說人生已經無所失亦無所得了。
        而可以注意到，我在文中時常強調這是個無法獲勝的遊戲，這省去很多計算及定義的麻煩，如果這是個可以獲勝的遊戲，那肯定的是獲勝的方式還是未知的，例如：得到某稀世珍寶、找到One Piece。但這同時也是所有人嚮往的目標，理由很簡單，就是這遊戲無法獲勝，但大家依然想贏。
        當然了，在現實生活中，我們很難準確地一一量化所有數值，但這不表示這些公式都是沒有意義的，這提供了自己行事的一些參考依據，例如說，當我們不知如何做決定時，可以依照期望值作出選擇，事後也可以計算行為價值來檢討反省，而人生價值更是最重要的，假如所有人一輩子能做的事情一樣多，一個人不斷選擇行為期望值高的來做，他的人生價值基本上就會是較高的。而例外發生在，他在中途改變目標，也就是在不同時刻他對同一件事的評價改變，換句話說，一個人堅持目標，並選擇期望值最高的事來做，理論上會是最成功人生，這也和許多人的人生經歷不謀而合。

後記

        感覺還有很多可以補充的，但這幾個基本論點應該已經算完備，一開始是想要把人生價值用積分的形態來表現，但後來發現只有概念類似，計算過程是不太一樣的。
        我不能否認這是個人觀點，但我認為，可以把所有人對於人生的理解套入我的理解內，那我的說明就是客觀且足以成為標準的。
        無論如何，還是希望能看到任何意見，甚至是不同版本的人生說明書。
感謝小甜甜的參與討論，激發出積分的構想。
世界人口來自Worldmeters。
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家屋斑蠊之近距離狙擊實驗

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前言

這個實驗的由來純粹是剛好捉到一隻蟑螂且最近剛好買了把狙擊槍，實驗內容不是非常豐富，附圖。

射擊目標

家屋斑蠊，學名：Neostylopyga rhombifolia。

將蟑螂放在紙杯內，避免彈飛蓋上保鮮膜。

射擊武器

AWP，初速約160m/s。

實驗過程

一開始花了些時間瞄準，為增加臨場感，附上第一人稱視角，狙擊距離大約為6~7m。

射擊影片，經過剪接，0:02時第一次射擊，1:13第一次特寫，1:47第二次射擊，2:07第二次特寫。
忘了開麥克風。

 
實驗結果
第一次射擊將他右側炸掉約1/4，第二次炸掉下半部1/3後不再掙扎。
結果圖，點圖可放大。
後記
狙擊槍很重，手很酸。
它一直趴在杯子邊緣，瞄準面積很小，加上要攝影，非常難瞄準。
射到很爽。 
-20130815
這次狙擊目標為較常見的澳洲蜚蠊。
射擊場景如圖，將蟑螂放在塑膠袋內，用膠帶固定在白紙上，以便觀察，將白紙固定在紙箱中間，後方是沙包緩衝。
射擊距離540cm。
完整射擊影片，有聲音，請直接跳到2:14第一次射擊，之後連續射擊n發，中間的雜音是上膛聲，射擊到目標時的是沙包緩衝的聲音，命中率約9成。
噁心碎片照
結束後的第一視角
外傳
單純提供初速可能無法理解沖擊力道，因此附上椅子受損照片，厚度約1.5cm塑膠，射擊距離7m。
正面(撞擊面)

背面

特別的是正面並沒有凹洞，撞擊點一樣平整，只是變薄透光或破洞，背面則有同樣大小的凹洞，像隕石坑一樣。估計是沒有材質可以吸收力道的緣故。點圖可放大。

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胰島素與睡眠對記憶之影響實驗探討

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前言
        此篇是富有實驗精神並含有少量價值之紀錄性學術文章，旨在分析「飯前」、「飯後」、「睡前」對於記憶力之影響，建議首次觀看者直接跳至文末之「實驗結論之結論」，內文敘述複雜且白話，若對結論之由來有興趣請繼續觀賞內文，謝謝。
摘要與動機
目前新興研究證實胰島素對記憶力有幫助，有望用於治療阿茲海默症，但相關的研究仍非常少皆處於起步階段，是否對人體的記憶有有效幫助仍不可確定，因此本人決定利用被單字的同時實驗是否胰島素對記憶力真有幫助。且睡前記憶一向被強調為是最有效的學習方式，是否有實驗證實也無從得知，因此我設計了這個實驗，希望可以得到有效的結論。
實驗設計
將部分單字分成三等分，每日於晚餐前(19:00)，晚餐後(20:00)，睡前(21:00)背30分鐘，記憶的方式則是將英文單字寫在單字卡上，背面寫上中文。因許多因素無法取得大量吸入用胰島素，因此用飯前代表較少量的胰島素，飯後代表較大量的胰島素，且每個時段開始背單字前皆先記錄血糖濃度，並持續至完全背完所有單字為止。
實驗過程
為了讓背單字較有效率，我使用個人較常採用的不斷複習的方式，簡單說明如下，因單字寫在單字卡上，三疊同樣高度基本上表示三等分同樣分量的單字，且事先已完整打亂，且內容皆為確定尚未背過且不熟悉的單字，單字程度大約是高中七千單字依難度分六級制的第六級。
完整背完所花時間分上下半部，上半部首日為將第一疊全部完整背過，對照後面的中文，已背起來的留在原來那一疊，未背起來的放到下一疊。第二日將前一天未背起來的繼續全數背過一遍，依照相同方法再分為兩疊，持續10天分成12疊(因時間因素，第10天連續重複3天份)，進入下半部分。下半部分首日先將12疊兩兩合成一疊變為6疊，第一天將6疊全部背過一次，已背起來的放到上一疊(較前面的)，未背熟的放到後一疊，相當於重整全部6疊。第二天依相同方法處理，但因第一疊皆為較熟的單字故忽略，第三天忽略第二疊以前，第四天忽略第三疊以前，而後第五天又改為忽略第二疊以前，類推，看圖較能了解。
實驗結果與解釋
血糖變化較為浮動，但多數皆在平均值正負兩個標準差之內，且忽略會影響數據判讀，故採原數據使用。如圖

因平均值仍符合飯後>睡前>飯前，故對應成胰島素應有一定的準確性及參考價值。

「Start」、「Final」表示開始、結束時的總單字量，「Start 2」表示下半部開始且將5月31日的12疊合成6疊。6月14日至7月3日間仍有記憶然頻率較高且不規則故忽略數據，7月3日為記憶完成之數據，僅剩餘兩疊，第二疊表是較晚背熟之單字。縱軸表單字量(相當於每一疊的高度)，右側數字表示第幾疊。
10’’’則表示8’’’、9’’’、10’’’之總和，因飯前無9’’’與10’’’，且數量皆不多，為方面統計與分析累加計算。

實驗結論
一、因數據及實驗進行的方式較複雜，個人認為沒有完全正確的解釋方式，故以下以不同觀點解釋以上實驗結果。
1.     單看最後一疊如10’’’：飯前明顯最好。
2.     以任意位置分割為已背或未背：飯前效果最好。
3.     討論每日記憶量： 如上圖，飯前效果最佳。
4.     討論每日記憶量之穩定度：如上同，飯前最佳。
5.     單看記憶完成之數據(7/3)：飯前等同於飯後最佳。
二、總結論為飯前效果最好。
三、理論解釋：
極有可能為正增強所產生之效果，而造成此增強作用之來源便為食物。換句話說，背完單字後的進食鼓勵了背單字的行為，或無形中增加了心理上對單字的吸收度。然此種結果無法由生理上解釋。
此結果亦不可解釋為胰島素對記憶毫無幫助，而應解釋為正增強之效果遠大於胰島素所產生之效果，而這有可能起因於胰島素量不足或個人因素等。
而睡前之記憶效果雖幾乎為最差，但亦不能解釋為睡前記憶是不明智的選擇。
個人認為此實驗非常不完善，沒有完善的對照組及大量數據，個人心態對於實驗結果影響會特別的大，且解釋方式過多，因此僅供參考。
實驗結論之結論
主觀來說，記憶效果飯前>飯後>睡前，僅供參考。
文獻、參考與感謝
感謝 提供正增強之靈感來源
增強 – 維基百科 
大腦也會得糖尿病？ – 科學人
 

後記
此次實驗並不是很成功，但結果確實出乎一開始意料且差異頗為明顯，而此文中之數據分析則異常的複雜，約花費八小時整理、計算與轉換成表格。且由結果推至結論花費許多時間，雖然結論能簡單從圖中得知，但仍有許多不同的切入方式，所幸各種切入方是所得之結論十分統一。
期待有下次機會讓我設計更完整的實驗，也歡迎各位提供類似資訊或親身體驗。

—20140417 

糖吃太多會變笨？

小朋友可不可以吃糖？糖吃太多會不會變笨？大人也會嗎？

西方的典型垃圾食物會不會讓人越吃越笨呢？為了解答這個問題，UCLA 的科學家讓老鼠喝高果糖水、然後吃缺乏 omega-3 脂肪酸的食物，結果發現，老鼠在迷宮表現上明顯變差。

但是，為什麼喝糖水會變笨呢？

因為喝了太多高果糖水後，身體必須分泌大量胰島素來把葡萄糖運送至肝臟、脂肪和肌肉細胞中。在長期喝高果糖水的情況下，身體中胰島素可能就會長期過量，並出現胰島素抵抗現象 （也就是說，細胞對胰島素不再敏感啦！就跟吸毒最後得越吸越多才有感覺一樣）。

而好死不死，胰島素剛好跟學習與記憶也有關係。（胰島素和記憶的關聯是最近才找到的。例如，在記憶力退化的阿茲海默症病人腦中，胰島素和受體數量都比正常人少很多。而且，一般人在吸入胰島素後，記憶能力也會馬上增強！）-— 咦！那以後考試前不用抱佛腳了，改吸胰島素？（誤）

總而言之，就是糖吃太多會導致身體出現胰島素抵抗現象，而當海馬迴（腦中與記憶有關的區域）中的細胞也產生胰島素抵抗現象時，就無法再正常學習記憶，下場就是變笨。

唯一的一絲希望是，在飲食中補充 omega-3 脂肪酸，可以稍微補救喝太多糖水所造成的傷害（但無法完全彌補）。所以，還是別給小朋友吃太多甜食，尤其是用高果糖漿調味的垃圾甜食，若小朋友硬要吃，記得補充 omega-3 （如魚油和堅果）喔！

註一：Agrawal R, Gomez-Pinilla F. (2012). ‘Metabolic syndrome’ in the brain: deficiency in omega-3 fatty acid exacerbates dysfunctions in insulin receptor signalling and cognition. J Physiol. 590(Pt 10): 2485-99.

註二：Benedict C, Hallschmid M, Hatke A, Schultes B, Fehm HL, Born J, Kern W. (November 2004). “Intranasal insulin improves memory in humans”. Psychoneuroendocrinology 29 (10): 1326–34.

from 謝伯讓的腦科學世界

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澳洲蜚蠊之體驗低氣壓實驗

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澳洲蜚蠊，學名：Periplaneta australasiae，蜚蠊科。

摘要與動機：無意間在網路上看到虐待蟑螂的酷刑，如「蟑螂酷刑30大法 – 深藍論壇」，其中提到針筒法：
「●針筒法
把蟑螂敲昏以後塞到針筒裡面
然後慢慢的壓下去(先不要壓死他唷^^)
然後把針頭堵住
接著慢慢的往上拉……拉……..拉………(對氣壓有概念的應該知道會發生什麼事吧一v一) 」
稍微搜尋一下後沒有找到有人做過類似的實驗，且因緣際會遇到一隻蟑螂，於是順手買了針筒來做這個實驗。

實驗描述與介紹：將活蟑螂放進針筒後壓至最小體積，保持蟑螂不死，用修剪過的橡皮擦堵住洞口後再用保麗龍膠封口後靜置，固定住針筒後往外拉開活塞使體積擴大，根據波以耳定律氣壓與體積會呈反比變化。
且事先已經過相同封口方法做測試，拉開針筒至最大體積後保持一段時間放開仍可回復至原體積，證明是幾乎完全密封。
根據計算，拉至最大體積時的氣壓約為1/6 atm=0.167 atm。

實驗影片：

實驗結果與感想：到最後蟑螂仍然沒有死，只是活動力減低了，且查資料後發現網路上宣稱蟑螂可在真空中存活30分鐘，請參照「蟑螂為何叫小強呢？ – 百度百科」。
於是我最後把它壓死了，擠出來的液體大約有2~3ml。

參考書籍：昆蟲圖鑑，遠流出版社，張永仁、朱耀沂，1998年初版。

-20130815，修正「澳洲蟑螂」應為「澳洲蜚蠊 」。

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內輪差面積計算與證明

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由於此文包含大量數學式，有部分內容無法上載只能改以截圖方式，解析度不高，若有興趣仔細觀賞者請下載完整PDF檔(852KB)(請點此)
前言：首先，我認為這是一個很有趣、並相當有難度的題目，對於自身喜歡挑戰數學或物理題目的讀者這是很適合深入研究的一個生活問題，建議各位可以自己先動手算算看，再參考本人的解法，若是先看過解法後在思考會容易的許多，而本題的困難度多數來自於思考、概念部分是比較值得挑戰的。適合高中以上。
雖說這道題目是在我腦海中出現的，但搜尋後網路上也是有人討論過這個部分，但大多數都是將問題簡化過後再作討論，甚至有論文根本計算錯誤，這在文末會加以探討。

問題：
請求出大車轉彎所造成之內輪差危險區域面積，如下圖一紅色部分。

可能的考題：
大型車輛如公車、聯結車等前後輪間距較長的車輛在轉彎時容易因前後輪軌跡不一致形成的內輪差危害路人安全(如下圖一所示)。假設內側前輪固定轉向角繞1/4圓作等速率圓周運動旋轉，內側後輪對地面只有平行車身之純轉動及以接觸面為軸之垂直轉動*，內側前輪則只有平行車身之純轉動，轉向後作等速度直線運動直到無限遠。試自行假設參數並逼近內輪差所造成之區域面積。

*「以接觸面為軸之垂直轉動」：示意圖如(圖二)。
(圖一) (圖二)

因為前提為假設內側前輪(以下皆省略內側)作圓周運動，因此前輪軌跡方程式十分容易處理，而關鍵在於後輪軌跡，只要求出方程式便可藉由積分得到面積。但後輪軌跡不為圓形、又因沒有固定焦點亦不為橢圓或雙曲線，經繪圖後才得知為遞迴關係且此遞迴無法求得特徵方程式。
繪圖方式敘述如下(圖三)：

(圖三)

在平面座標系上以(0,R)為圓心，半徑R為迴轉半徑作1/4圓O為前輪軌跡，令(R,R)為P0為轉彎前之前輪位置，過P0作圓之切線往+y方向延長a為兩輪間距得到Q0(R,R+a)為轉彎前後輪位置。令開始轉彎後下一瞬間前輪位置P1於圓O上任一點，連線線段P1Q0並作Q1於此線段上且線段P1Q1=a得到新後輪位置Q1。
依照此方式在圓上不斷取下一瞬間之前輪位置，便可得到所有後輪位置之軌跡。此方法證明如下：

(圖四)



(圖五)



(圖六)







(圖七)

內輪差未解問題：
依常理判斷在a大於R時仍可作小半徑之轉彎，但問題出在內輪差公式是利用直角三角形來作推導，在a大於R時公式失效，亦可說無法判斷轉向角。這是因為公式是利用圖四或圖七的方式假設前輪及後輪之軌跡已成一穩定之圓形來作推導，但在a大於R之情況下儘管前輪軌跡是圓形，後輪卻不是，因此必須用另外的方式來證明，目前無解。
此問題僅出在內輪差公式及前文利用圖四之證明，理論上證明結果可以引申至a大於R之情況，但在內輪差公式中則不行。但此問題並未影響到原題目之計算，因在前輪軌跡未超過1/4圓之前後輪皆不會往反向移動，因此結果不變。
目前無法模擬此種a大於R之情況，靜待高手解答，若有突破必定更新。

後記：
起初我在想這個問題時不知道該用物理觀念解題或數學，思考過很久前輪驅動、後輪驅動或四輪驅動的狀況，考慮進轉彎時所受向心力及離心力力矩、角動量、摩擦力等複雜的因素，比較值得一提的是每一瞬間之移動可以先將瞬時切線速度分解成垂直車身和平行車身之速度，然後將垂直車身之速度當作以後輪為軸旋轉的切線速度，而平行速度則想像成在旋轉一小扇形後車身向前平移至前輪達原圓形軌跡。我認為這樣的方法也是可以證明的。
這道題目我花了五天，雖然不是日日夜夜都在思考和計算，但我相信「五天」這個數字是足以形容這題的難度的，如果你是看完後才自己試著解決相信都可以在三個小時內完成。但從零開始確實不是一件簡單的事。
在原題目中的描述與假設都是我自行設計的，如果你有興趣可以自行改變那些假設，相信這樣的可變性及困難度都會有所不同。
本文中除(圖一)(圖二)外皆為小畫家繪圖，因為對其他作圖軟體不熟悉所以只能用比較簡陋的示意圖，請見諒。
而經過這樣的證明與計算，這道題目仍然不是完全解決了，就如上面所描述的情況，我還是無法想像那會是怎樣的軌跡，再加上我手邊沒有機車或什麼車可以做這樣的實驗來模擬(要讓前輪作小半徑圓周運動)，所以這確實是個暫時無解的問題，如果看到這裡你有什麼想法都歡迎提出來。我目前有試過多套物理模擬軟體，但我還是不知道要怎麼輸入這樣前後輪的關係去模擬，此題待解。

參考文獻與批評：
1. 交通部海報(圖一)
2. 輪胎側面圖(圖二)
3. 交通安全 – 內輪差
4. 內輪差 – 百度百科
5. 圖解內輪差與外輪差
6. 小朋友的內輪差
7. 連仁宗車輛的轉向原理與穩定性
9. 理工生學開車
10. 公車規格圖
11. 信義路路寬規格

在「小朋友的內輪差」一文中便是以同心圓的方式取的內輪差，結果與我的相同，據此文所說這是一提大陸的高中數學應用競賽的題目：内轮差是车辆转弯时前内轮的转弯半径与后内轮的转弯半径之差。车辆转弯时，前轮转向，前、 后轮的运动轨迹不重合，后轮轨迹会向所转方向的内侧偏移，产生内轮差，车辆的前后轴距越长，偏移量越大，即内轮差越大。行车中如果只注意前轮能够通过而忘 记内轮差，就可能造成后轮驶出路面或与其他物体碰撞的事故。右图中可见一辆货车右转弯时，前、后轮内轮的轨迹。如果汽车的前后轴距为5米，右转弯时前轮的转向角为30度，求右前轮和右后轮的内轮差，并依此对站在马路拐弯处的行人提出安全建议。前文的題目便是參考此題修改而成，這道題目比較簡單因為只要求取內輪差，這以三角函數便能解決，不過仍須足夠的物理概念。