先提供用小數換算分數的辦法,也是證明或導出公式的辦法。
舉例換算0.8循環。設S=0.888…也就是0.8循環,則10S=8.888…也就是8.8循環,兩式相減10S-S=9S=8(因無限循環節8已被相減掉),故S=8/9(九分之八),這是正確的,8除以9確實等於0.888…循環。
公式:小數點後數字-小數點後非循環節數字/n個9 m個0(n為循環節個數,m為非循環節個數)。
這是我在試的時候無意間發現的或許是公式的缺陷或例外,提出來希望有人知道為什麼。
換算0.9循環以相同方法,設S=0.999…也就是0.9循環,則10S=9.999…也就是9.9循環,兩式相減10S-S=9S=9(因無限循環節9已被相減掉),故S=9/9(九分之九)=1,因此得到結論,0.9循環=1。
這…為何?
—980802
至今都想不出來,似乎也沒有人確實知道原因,我去問了老師,卻還是很難解釋為什麼。
簡單來說0.9循環應該是除了1以外最接近1的數字,但卻既不是1又不是0.9。
正確來說,0.9循環無法用分數來表示,應該這麼說吧,很奇怪,不管用公式或利用原理都只是得到1。
或許會有更好的解釋,但是暫時,0.9循環是沒有分數的形式的。
有知道詳情的人還請補充說明,謝謝。
—980813
感謝五樓的回應,這讓我產生新的想法。
假設0.9循環=1,用同樣的方法兩邊先同乘10倍在減掉原數,變成9=9,這似乎可以證明0.9循環=1?
還是不暸。
—980821
再次感謝五樓匿名網友的補充,根據他的說法,0.9循環=1是正確的(請自行到回應中看),我暫時也這麼認同,但是沒辦法完全肯定,因此會先保留,有更好的解釋會再提出,有其他想法的人也歡迎發表,謝謝。
—980822
感謝 小政學長熱心相助,這讓我產生很大的啟發,我概略的整理一下。
學長強調了一點就是無限到底有沒有限的問題,我在3樓的回應中已經討論過了,但是這實在是個很矛盾的問題,無限循環小數到底有沒有底呢?個人認為並不能當作有底來計算,這已經失去去討論「無限」的意義。
還有一點,就是誤差,也許這種算式中會產生一種誤差,這種講法很特殊,因為似乎否定了此算出帶出的其他等式,但是學長說我們在計算的過程中會忽略掉那些多餘的誤差,只有在0.9循環=1的狀況下才可能注意到。因此這種算法就是突顯出誤差罷了,這種講法我覺得十分合理也頗認同。
最後,基本上,人的理解是有限的,因此不能去討論無限的問題,小政學長:「我們沒辦法對無限去下定義。」
致上萬分感謝,以上說法大部分都是小政學長的提供,我把這種講法整理後提出來,希望沒有理解錯誤的情況,個人對於產生誤差的說法十分認同,至於產生誤差的原因則是人的理解是有限的。以上說法給大家當做參考,如果有任何新的想法會再補充。
—981005
數學第2-2無窮循環小數有提到,看來0.9循環是確實等於1的,但在前文中以刪除方式減掉無限循環節的方式是不夠完備的,利用無限等比級數便可以求出。
設S=0.9循環=0.9+0.09+0.009+…=0.9*10^0+0.9*10^-1+0.9*10^-2+…,帶入公式,公比r為10^-1,首項a為0.9,a/1-r=0.9/1-0.1=0.9/0.9=1。
故證明0.9循環等於1
感想:沒想到這竟然會在數學課提到,不過很早就開始思考這個問題看到時就會有不同的感想,雖然不是自身的頓悟卻也又了解了一種特殊的現象,很明顯人會被所知所侷限住,從小的教育環境便會學習到9不等於1,在這邊便會又陷入此種邏輯,感覺非常嘖嘖,感想結束,此篇到此告一段落。