小數換算分數缺陷(10/05版)

先提供用小數換算分數的辦法,也是證明或導出公式的辦法。

舉例換算0.8循環。設S=0.888…也就是0.8循環,則10S=8.888…也就是8.8循環,兩式相減10S-S=9S=8(因無限循環節8已被相減掉),故S=8/9(九分之八),這是正確的,8除以9確實等於0.888…循環。

公式:小數點後數字-小數點後非循環節數字/n個9 m個0(n為循環節個數,m為非循環節個數)。

這是我在試的時候無意間發現的或許是公式的缺陷或例外,提出來希望有人知道為什麼。
換算0.9循環以相同方法,設S=0.999…也就是0.9循環,則10S=9.999…也就是9.9循環,兩式相減10S-S=9S=9(因無限循環節9已被相減掉),故S=9/9(九分之九)=1,因此得到結論,0.9循環=1。
這…為何?

—980802
至今都想不出來,似乎也沒有人確實知道原因,我去問了老師,卻還是很難解釋為什麼。
簡單來說0.9循環應該是除了1以外最接近1的數字,但卻既不是1又不是0.9。
正確來說,0.9循環無法用分數來表示,應該這麼說吧,很奇怪,不管用公式或利用原理都只是得到1。
或許會有更好的解釋,但是暫時,0.9循環是沒有分數的形式的。
有知道詳情的人還請補充說明,謝謝。

—980813
感謝五樓的回應,這讓我產生新的想法。
假設0.9循環=1,用同樣的方法兩邊先同乘10倍在減掉原數,變成9=9,這似乎可以證明0.9循環=1?
還是不暸。

—980821
再次感謝五樓匿名網友的補充,根據他的說法,0.9循環=1是正確的(請自行到回應中看),我暫時也這麼認同,但是沒辦法完全肯定,因此會先保留,有更好的解釋會再提出,有其他想法的人也歡迎發表,謝謝。

—980822
感謝 小政學長熱心相助,這讓我產生很大的啟發,我概略的整理一下。

學長強調了一點就是無限到底有沒有限的問題,我在3樓的回應中已經討論過了,但是這實在是個很矛盾的問題,無限循環小數到底有沒有底呢?個人認為並不能當作有底來計算,這已經失去去討論「無限」的意義。
還有一點,就是誤差,也許這種算式中會產生一種誤差,這種講法很特殊,因為似乎否定了此算出帶出的其他等式,但是學長說我們在計算的過程中會忽略掉那些多餘的誤差,只有在0.9循環=1的狀況下才可能注意到。因此這種算法就是突顯出誤差罷了,這種講法我覺得十分合理也頗認同。
最後,基本上,人的理解是有限的,因此不能去討論無限的問題,小政學長:「我們沒辦法對無限去下定義。」

致上萬分感謝,以上說法大部分都是小政學長的提供,我把這種講法整理後提出來,希望沒有理解錯誤的情況,個人對於產生誤差的說法十分認同,至於產生誤差的原因則是人的理解是有限的。以上說法給大家當做參考,如果有任何新的想法會再補充。

—981005
數學第2-2無窮循環小數有提到,看來0.9循環是確實等於1的,但在前文中以刪除方式減掉無限循環節的方式是不夠完備的,利用無限等比級數便可以求出。
設S=0.9循環=0.9+0.09+0.009+…=0.9*10^0+0.9*10^-1+0.9*10^-2+…,帶入公式,公比r為10^-1,首項a為0.9,a/1-r=0.9/1-0.1=0.9/0.9=1。
故證明0.9循環等於1

感想:沒想到這竟然會在數學課提到,不過很早就開始思考這個問題看到時就會有不同的感想,雖然不是自身的頓悟卻也又了解了一種特殊的現象,很明顯人會被所知所侷限住,從小的教育環境便會學習到9不等於1,在這邊便會又陷入此種邏輯,感覺非常嘖嘖,感想結束,此篇到此告一段落。

在〈小數換算分數缺陷(10/05版)〉中有 8 則留言

  1. 感謝你的回覆,這樣我懂了,也就是就算0.9循環=1是此公式的例外,也沒辦法證明0.8循環=8/9就不是例外吧。

    我了解我的解釋有缺陷了,我暫時同意你的說法,0.9循環是=1的。但是或許有其他目前不知道的證明的方法,反而可以得出0.9循環不等於1的公式而互相矛盾。

    如果您有一些相關的文章可以作為引用可信度會增加,或是您本身是教授或老師?這個問題我會先留著,以後問到確定的解答後會再發表,十分感謝你的解釋。

  2. 我懂你的意思,你是說用錯誤的方程式帶出的答案,雖然是答案,但不具任何意義是吧?
    目前來看,大家對公式只有一點懷疑,0.9循環為什麼等於1‧
    我能告訴你公式是對的,S剛開始假設等於0.9循環,最後經過運算後S又等於1,我不用在解釋0.9循環為何等於1了吧,上面您自己不是解釋的清清楚楚了麼?
    如果公式是錯的,為什麼其他的小數都能順利的換算分數?只有0.9循環不行?是不是剛開始認知就是「0.9循環不等於1」,所以產生這樣子的疑惑‧你有懷疑過0.8循環不等於8/9麼?如果沒有的話,我現在就要反問你,『並不是公式對導出來的就一定對,也是有可能會發生例外的吧,打個比方,如果一個方程式是錯的,但是能帶入一組正確的未知數,那麼這個方程式就是對的嗎?』請你證明0.8循環不等於8/9‧
    像您這樣子回答我的問題,等於否定了整個公式‧
    感謝番茄肯定且重視我的回答,這是我回覆的動力喔!〈我和五樓同人〉

  3. 呃,應該不能這樣解釋吧? 並不是公式對導出來的就一定對,也是有可能會發生例外的吧,打個比方,如果一個方程式是錯的,但是能帶入一組正確的未知數,那麼這個方程式就是對的嗎?

    又請解釋為何0.9循環=1?

  4. HI
    我必須說0.9循環就是等於1沒錯,這並不是缺陷,相信自己所導出來的東西‧
    如果0.9循環不等於1的話,及代表公式有問題,可是公式沒有問題,所以您推論的無誤‧

  5. TO 竹
    不太清楚你提出這句的意義為何?很簡短精確卻步之主旨何在?

    「有規律」是當然的,難道0.99999999999999999…沒規律嗎? 都是9啊

    請說清楚,我知道天才的語言可能和普通人有點不同,但這裡沒人知道你是不是天才,請盡量用正常人的語言,十分感謝。

  6. TO 紅茶:
    若假設0.9循環為有限循環,也就是0.99…….99有底,可簡化為0.9999(這不影響結果及計算),則用相同方式,設S=0.9999,10S=9.999,10S-S=9S=8.9991(意同於S*9,但為方便對照採相同方式),故S=0.9999正確。
    但請注意前提是「假設0.9為有限循環」,這與主旨與不合,這段只能證明有限循環而已,也是把你的國字語言數字化。

    基本上無限循環小數不能去探討「趨近」的概念,那是沒有意義的。

    還是謝謝發表意見,到現在我還沒想出解釋方式,也請看到的各位有空盡量想想,無理數就是在這種情況下問世的,或許有人可以發現複數以外的數喔..

  7. 呃…..我覺得這是非常複雜的概念

    因為如果你用1-0.9循環
    得到的數會無限趨近於0…
    也就是說
    和0是沒什麼差別的(或許還是有差別吧)
    那麼0.9循環其實無限趨近於1
    或許就像為什麼10s-s最後不會剩下來一樣
    無限是個非常複雜且難懂的概念
    因為無限沒有底限..

    總之我講講自已的想法
    或許是完全錯誤的答案
    不過這真是值得深思的問題
    謝啦!!番茄

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