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無窮彈性碰撞

這是一篇看起來就很唬爛的學術性文章,裡面竟然在嘗試同時用古典力學[1]和量子力學[2]解釋一個人類根本就無法理解的狀況。
在這裡我要先做出聲明,這並不是普通艱深與普通唬爛程度的文章,裡面也並沒有使用詭辯、沒有融入任何悖論,並且會消耗大多數的腦細胞,如果想要完全看懂並提出反駁請先理解
內文中提到的許多原理及理論,在文末會附上註解提供外連,定義部分以及計算過程也會盡可能的附在文末,建議想看懂本文的人要先確定自身已經瞭解文內提到的細節。
首先,直接進入本文的題目:如果有一顆球,從高處落下,與地面碰撞反彈後又落下反彈如此往復進行,它會不會停?單看此題目敘述十分簡顯易懂,但是現在要開始做出比題目還長的補充:假設此小球非常小,在此以一原子來做替代,但為了理解方便後文還是以球代稱。地面質量十分龐大,在此以地球來做替代,不考慮空氣阻力,直接去掉大氣層的存在。但是並不忽略所有其他的因素及外力。
現在要討論的是,這顆球到底「會不會停」?先考慮現實生活中,無論多麼大力丟球,球都會停下來,我們可以理解這是因為空氣阻力的存在,加上地球質量遠大於小球的質量造成。但是現在沒有了空氣阻力,我必須先解釋本文考慮的因素非常細微,提出一個極端的例子:如果兩個無氫鍵[3]的原子在無外力的狀況下相互因萬有引力接近後又因電子的靜電力彈開,如此重複,會呈現簡諧運動[4]並永遠不會停止,而兩原子的平衡點便是斥力與引力相等的位置。
回到文中的狀況,為什麼地球與小球就不會進行這樣的簡諧運動了呢?其實還是會的,只是質量相差太過懸殊,振幅太過微小無法觀察,但是,在文中還是不會忽略此種狀況。
看過以上例子後相信各位可以理解這是不會停止的簡諧運動,但是回到此段第一句的問題,也就是這顆球永遠不會停?這時候必須再引入量子力學中的「震盪[5]」,在大部分科學家的眼中,所謂的「靜止」基本上就是不考慮原子在原地做微小的震盪,換句話說,原子在原地做微小的震盪還是可以算是靜止的。
這時候各位大概可以了解我要表達的是什麼,在這裡我把「靜止」的定義做出不包括震盪的補充。直接切入原題後也就是這顆球「會停」,而且根據定義是在彈起的高度(振幅)不大於震盪的振幅時稱做「停」。
但是這時候又產生了一個問題,這個簡諧運動為什麼又會停了呢?根據剛剛的敘述這應該是個永遠不會停止的簡諧運動,在這裡我要提醒各位再度回到巨觀的世界中,兩物體簡諧運動的振幅通常是在「振幅小於兩物平衡點距離」下做討論的吧,因為在巨觀世界中振幅不能大於兩者的距離,否則那便是碰撞的情況而不是簡諧運動了。因此再回到原子的世界中,這個簡諧運動的前提也就是振幅要夠小才行。
文章至此終於定義告一段落,並解釋完部份的原理。
撰稿至此,赫然發現「震盪」其實就是量子力學中的「共振」,但經過確定後兩者可以通用。
這時候如果要進入題目的計算,想必必須要先得知震盪的振幅,才能算出在什麼時候此反彈才會停止,但是若要算出共振的振幅,可以透過一個與線性震盪器類似的公式[6]求得,但是這又會牽扯入兩個反彈的原子的特性,包括公式內所需要的的衰變率(Γ)及質量(竟是以複數M+iΓ的形式來做計算)
所以在這邊直接再引入「測不準原理[7]」,測不準原理並不只是在「測」中出現,而是物質本身就具無法確定的不確定性,所以也稱為「不確定性原理」,因此本題中雖不考慮觀測者及觀測方法的因素,仍然可以適用此原理。
根據測不準原理直接導出的結論,如果物體運動的位置變化如果在小於約化蒲朗克常數[8]的一半時,這便是沒有意義的(或說做無法觀測的),所以我們可以直接做出結論:振幅小於蒲朗克常數的一半時便是靜止。
現在終於可以進入原題目的計算,以下自行假設實際狀況。
假設小球是一個碳(12C)[9]原子,質量為12amu=1.992646632*10-26kg,初落下高度為1公里,反彈的恢復係數[10]e=0.5,也就是碰撞後的速率變為碰撞前的一半,計算後得到彈起的高度會是落下高度的1/4
速度變化為:1st落下末速為140m/s2nd落下末速為一半70m/s…類推。
n次落下末速為140/2n-1
落下高度變化:1st落下1000m2nd落下2503rd落下125/24th落下125/8…類推。
故:1000Σn=0 1/(4n),當然不會是無限而是暫用這個符號來表示,這是個收斂的級數,每項會趨近於0,第n項為1000/4n-1
設第n項動量與位置的乘積小於約化蒲朗克常數的一半(5.272858409*10-35),代入公式[11]得到n>17.6(計算過程[12]),意即第17次彈跳後停止。
令人驚訝的是,這時候的速度還有0.159cm/s,而高度有58207.66皮米[13](碳原子半徑為67皮米),即已經「測不準」了。
(此段與本文只有少許關聯)在這邊順道計算一些其他東西彈跳的n值,先把算式整理成公式後:n>LOG10(16*M*H*SQRT(2*9.8*H)/h)/(3*LOG10(2))(可直接複製至excel用,M=質量(kg)H=高度(m)h=約化蒲朗克常數)
可以得到有趣的數字:

–>

質量M
落下高度H
n最小整數值
1公克
1公分
35
1公斤
1公尺
42
1公噸
1公里
50
地球質量
地球半徑
80
太陽質量
1AU
94

–>

(當然了,後面兩項並不是帶入公式這麼單純的,純屬趣味。)
計算的部分先告一段落,現在進入無限的領域,理論上來講,雖然我們定義他停了,但是它可能還會繼續不斷的細微運動(或是共振),所以這跳到了另一個問題:到底要多久才會停?現在只考慮牛頓力學的部分,根據力學能守恆我們可以計算出第n次的反彈速度為en(2gh)1/2,第n次反彈後在空中停留的時間為2en(2h/g)1/2,總時間為T=(2h/g)1/2(1+2Σn=1en)=(1+e/1-e)(2h/g)1/2e為恢復係數 (計算[14])
所以現在根據前文討論的結果,總時間為T,但是我們知道落下的高度會逐漸趨近於0,但卻永遠不會為0→所以它永遠不會停,因為永遠可以落下。
再回到純數學的部分,剛剛算出的T時是總時間,因此我們知道第k+1次會比第k次的時候更接近T,第k+2次也會比第k+1次的時候更接近T…類推,此級數會不斷逼近T卻永遠不會到達,這十分類似於阿基里斯與烏龜賽跑的悖論[15]
這時候回到現實,如果我們坐著時光機直接跳到T時去,看到的到底會是什麼呢?
很明顯,這是一個無窮級數的不可靠之處,根據公式可以求出一個確切的數值,但其實也可以說這數值並不存在或沒有意義。
要破解這道謎題,就必須再往回看,把前文提到的測不準原理一併應用進去,這便是為什麼這是同一篇文章的理由。
根據古典力學、牛頓力學它會永遠運動。
根據測不準原理、量子力學它會停。
根據無窮數列、無窮級數它不會停,但可以求總時間逼近值。
」表示根據得到。
這些東西單獨看都不好理解,但大家卻習以為常;合再一起看不可置信,卻又合乎邏輯,因為定義各自不完整,但合在一起後卻可以相互補充。
至於如果你要問我關於無窮的問題,我會說「人的理解是有限的,所以無法探討無限的問題」來帶過,雖然敷衍,但是這才是最正確的解釋。
註釋:
[1] 古典力學:以牛頓運動定律為基礎,在巨觀世界和低速狀態下,研究物體運動的基要學術。
[2] 量子力學:描寫微觀物質的一個物理學理論,與相對論一起被認為是現代物理學的兩大基本支柱,許多物理學理論和科學如原子物理學、固體物理學、核物理學和粒子物理學以及其它相關的學科都是以量子力學為基礎。
[3] 氫鍵:是分子間作用力(凡得瓦力)的一種,是一種永久偶極之間的作用力。
[4] 簡諧運動:進行簡諧運動時,物體所受的力跟位移成正比,並且力總是指向平衡位置。
[5] 共振:量子力學與量子場論中,共振可能出現在與古典物理相似的場合。
[6] Γ是粒子衰變率,而Ω由粒子質量M取代,頻率為ω
[7] 測不準原理:指在一個量子力學系統中,一個粒子的位置和它的動量不可被同時確定。
[8] 約化蒲朗克常數
[9] :非金屬元素,位於元素周期表的第二周期IVA族。它的化學符號是C,它的原子序數是6,電子構型為[He]2s22p2
[10] 恢復係數:兩個物體在碰撞時,恢復期與形變期的衝量的比率稱為恢復係數。
[11]
[12] 質量以M表示,約化蒲朗克常數的一半以h’表示,則:
M*(19600/2n-1)*( 1000/4n-1)>=h’ (移項並整理)
→23n>(1.568*108*m)/h’ (同取log2後除以3)
→n>log(1.568*108*m/h’)/3log2
代入原式mh後得到n>18.5726。
[13] 皮米:皮米(picometerpm)是長度單位,1皮米相當於1米的一兆(即一萬億)分之一。有時在原子物理學中稱為微微米(micromicron
[14] 第一次與地面接觸時的速度 v0=(2gh)1/2
第一次反彈速度 v1=ev0
第二次反彈速度 v2=ev1
n次反彈速度vn=evn-1 vn=evn-1=e2vn-2=…=env0=en(2gh)1/2
n次觸地後停留空中時間 tn=2vn/g=en(2h/g)1/2
總時間 T= (2h/g)1/2(1+2Σn=1en)=(1+e/1-e)(2h/g)1/2
[15] 阿奇里斯悖論:動得最慢的物體不會被動得最快的物體追上。由於追趕者首先應該達到被追者出發之點,此時被追者已經往前走了一段距離。因此被追者總是在追趕者前面。
本文題目及[14]解法來自:《1994~2009年國際物理奧林匹亞競賽國家代表隊選拔考試 初選試題及解答彙編》,p.36第十題。
有關無窮級數的某小部分想法來自:《毛起來說三角》,Eli Maor,湖守仁譯,天下遠見出版股份有限公司。
在此感謝我的暑假作業。
另外,本文構思、撰稿、查資料、複審、校稿共花了至少七個小時,感謝您閱讀至此,歡迎提出批評及修正。

數字錯覺

請想想一個問題,大家都說戴安全帽比不戴安全帽安全,從邏輯上推論似乎沒錯,但從數字上,這似乎是根據事故發生率來判斷的。
譬如說,一百輛車,五十個人戴安全帽,其中戴安全帽的五十人有20人失事,不戴安全帽的有30人,那麼失事率當然是不戴安全帽高。但是,若這個城市大家都十分配合,100個人都戴上安全帽,難道就不會出車禍嗎?對,還是會,這時候戴安全帽的失事率就變成了…100%。戴安全帽的失事率是100%這樣暸嗎。

許多數字都只是表面上,藉由數字可以達成錯覺,也可增加可信度,是許多政客、演辯家常用的手法。

人看到很大的數字,就會一味的認為是絕對的大(這裡指的是非相對的絕對),舉個例子,太陽和地球的距離是1ua,看似沒什麼,換成光要走500秒,這也還好,因為我們不是光無法理解,149597870691公尺,這個數字可能就會讓人頭暈目眩了。所謂的小,也是相同的道理,宇宙多大,垮克多小,都是不真實的數字。

123456789012345678901234567890123456789012345678901234567898123456789012345678901234567890
看似只是很正常的1~10,事實上其中有一組是1234567898,這是某種錯覺…
類似的道理可以做出許多詐欺術…

—980718
在《詭辯術》一書中第45節「統計法」,看到相同概念,得到印證。

零角度


這裡有一條線段AB,那麼問題是,請問這是一個0度角還是360度角?

這個問題是我在看「笛卡兒的秘密手記」這本書時想到的,在第54頁裡面講到了笛卡兒證明了當時沒有人可以證明的問題:「證明零角度實際上並不存在」,當然在書中也附上了圖和說明,但我卻看不懂那和證明零角度有何關係,上網搜尋一下也找不到相關資料,因此產生了這個問題。

那麼公佈答案,這不是0度角也不是360度角,請再看題目一遍,一開始就告訴你了,這是線段AB。

那麼要怎麼證明線段AB並不能表示成是0度角呢(假設有存在0度角這東西),請看證明過程,這是我利用P.54的方法證明出來的:假設此線段是個角度,若有一線段將此角(角BAB)分為兩等分,那麼必存在此一直線通過點A將此角度兩等分,因直線與此角度兩邊重疊也同時將點A分為兩部分,這與「點」的定義不合,「點」是不能分割的,因此此角度並不為0度角。

但是要如何證明有或沒有零度角呢,又要如何區別0度角與360度角呢?

–20090806
有人竟然猜說這是180度角?當下我並沒有反應過來,但事後想想,我指的是角BAB,並不是中間有一點C而指角BCA,如果是這樣應該是180度無疑,請不要誤解了。

小數換算分數缺陷(10/05版)

先提供用小數換算分數的辦法,也是證明或導出公式的辦法。

舉例換算0.8循環。設S=0.888…也就是0.8循環,則10S=8.888…也就是8.8循環,兩式相減10S-S=9S=8(因無限循環節8已被相減掉),故S=8/9(九分之八),這是正確的,8除以9確實等於0.888…循環。

公式:小數點後數字-小數點後非循環節數字/n個9 m個0(n為循環節個數,m為非循環節個數)。

這是我在試的時候無意間發現的或許是公式的缺陷或例外,提出來希望有人知道為什麼。
換算0.9循環以相同方法,設S=0.999…也就是0.9循環,則10S=9.999…也就是9.9循環,兩式相減10S-S=9S=9(因無限循環節9已被相減掉),故S=9/9(九分之九)=1,因此得到結論,0.9循環=1。
這…為何?

—980802
至今都想不出來,似乎也沒有人確實知道原因,我去問了老師,卻還是很難解釋為什麼。
簡單來說0.9循環應該是除了1以外最接近1的數字,但卻既不是1又不是0.9。
正確來說,0.9循環無法用分數來表示,應該這麼說吧,很奇怪,不管用公式或利用原理都只是得到1。
或許會有更好的解釋,但是暫時,0.9循環是沒有分數的形式的。
有知道詳情的人還請補充說明,謝謝。

—980813
感謝五樓的回應,這讓我產生新的想法。
假設0.9循環=1,用同樣的方法兩邊先同乘10倍在減掉原數,變成9=9,這似乎可以證明0.9循環=1?
還是不暸。

—980821
再次感謝五樓匿名網友的補充,根據他的說法,0.9循環=1是正確的(請自行到回應中看),我暫時也這麼認同,但是沒辦法完全肯定,因此會先保留,有更好的解釋會再提出,有其他想法的人也歡迎發表,謝謝。

—980822
感謝 小政學長熱心相助,這讓我產生很大的啟發,我概略的整理一下。

學長強調了一點就是無限到底有沒有限的問題,我在3樓的回應中已經討論過了,但是這實在是個很矛盾的問題,無限循環小數到底有沒有底呢?個人認為並不能當作有底來計算,這已經失去去討論「無限」的意義。
還有一點,就是誤差,也許這種算式中會產生一種誤差,這種講法很特殊,因為似乎否定了此算出帶出的其他等式,但是學長說我們在計算的過程中會忽略掉那些多餘的誤差,只有在0.9循環=1的狀況下才可能注意到。因此這種算法就是突顯出誤差罷了,這種講法我覺得十分合理也頗認同。
最後,基本上,人的理解是有限的,因此不能去討論無限的問題,小政學長:「我們沒辦法對無限去下定義。」

致上萬分感謝,以上說法大部分都是小政學長的提供,我把這種講法整理後提出來,希望沒有理解錯誤的情況,個人對於產生誤差的說法十分認同,至於產生誤差的原因則是人的理解是有限的。以上說法給大家當做參考,如果有任何新的想法會再補充。

—981005
數學第2-2無窮循環小數有提到,看來0.9循環是確實等於1的,但在前文中以刪除方式減掉無限循環節的方式是不夠完備的,利用無限等比級數便可以求出。
設S=0.9循環=0.9+0.09+0.009+…=0.9*10^0+0.9*10^-1+0.9*10^-2+…,帶入公式,公比r為10^-1,首項a為0.9,a/1-r=0.9/1-0.1=0.9/0.9=1。
故證明0.9循環等於1

感想:沒想到這竟然會在數學課提到,不過很早就開始思考這個問題看到時就會有不同的感想,雖然不是自身的頓悟卻也又了解了一種特殊的現象,很明顯人會被所知所侷限住,從小的教育環境便會學習到9不等於1,在這邊便會又陷入此種邏輯,感覺非常嘖嘖,感想結束,此篇到此告一段落。

時空旅行的矛盾

請先看看這篇故事,時空旅行的矛盾

一九四五年,一位來路不明的女嬰被棄置在克里夫蘭的一所孤兒院。
「珍」在孤獨和落寞中長大,不知道她的親生父母是誰,直到一九六三年的某日,她莫名其妙地愛上一位流浪漢。正當珍的際遇開始好轉時,災禍卻接踵而至。
她懷了流浪漢的孩子,流浪漢卻不見蹤影。
在複雜的生產手術中,醫生赫然發現珍有兩套性器官。
為了拯救珍的生命,他們只好為珍進行變性手術,讓「她」變成「他」。
最後,一位神秘的陌生人,從產房中綁走了她的孩子。

經歷了這些打擊,被社會排斥,被命運嘲笑的「他」,變成了一位酒鬼和流浪漢。
珍不但失去了雙親和愛人,連自己的孩子也失去了。到了一九七0年,他走進冷清的「老爹酒吧」,向一位老酒保說出他悲哀的一生。
酒保答應幫他報復對「她」始亂終棄的陌生人,條件是他必須參加「時間旅行團」。
他們兩人進入時間機器,酒保將流浪漢留在一九六三年。
流浪漢莫名其妙地愛上一位年輕的孤兒,後來讓她懷孕了。

酒保繼續前進九個月,從醫院綁走女嬰,將女嬰棄置於一九四五年的一所孤兒院。
後來酒保將流浪漢帶到一九八五年,成為「時間旅行團」的一員。
流浪漢終於開始過著穩定的生活,成為「時間旅行團」中一位受人尊敬的老會員。
後來他化身為一位酒保,接下最棘手的任務:和命運的約會,
在一九七0年的「老爹酒館」和一位流浪漢碰面。

很明顯,這篇故事充滿了疑點。
首先這篇的來源已經不明,我試著要找出原文,但是似乎是某小說的翻譯,在這邊就不追究了。

再看一次,或許就會明白,故事中所有主角都是同一人,而造成混亂的就是「時間旅行」,所有人物的父母也都是自己本身,再來請看看這張圖。
這樣很好理解,事實上所有主角與主角之間的接觸只是自己不同年紀時的接觸罷了。
這個故事同時也表達了無限和零的概念,因為這可以無限的循環下去,也是從無中生有,小女孩從哪來的?是長大後的她自己生出來的,小女孩的父親則是母親的未來,而酒保又扮演了製造與解釋疑點的角色。

當然要找出疑點也不是那麼容易,試想,酒保在棄置小女孩後應該是又回到了1970,在1985被年輕的自己給取代,年輕的酒保又回到過去準備製造出另一個新的自己,那麼若這個故事持續的循環下去,不是就會有許多的老酒保出現。當然這還不足以推翻這個故事。

酒保為何要帶走小女孩?在動機的部份也沒辦法解釋,故事中也沒有交代清楚,或許只是為了讓故事完整。這也不足以推翻。

再來看看各人物的起始與終點,「她」是被「她」生出來的,最後變成「他」,「他」是由「她」變來的,最後變成「酒保」,「酒保」是由「他」變來的,最後不清楚。
因為已經討論過酒保的結局並不會對故事造成影響,因此要推翻這個故事必定要從「她是被她生出來的」著手。
從年齡來說0歲的她被18歲的她(與25歲的他)生出來,在這一瞬間(若酒保也剛好出現,他也還在)事實上是存在四個同質不同年紀的人。

但是這樣看下來,這個故事好像也沒有地方可以推翻?不合理的地方有很多但是都不足以推翻掉。難道這是可能發生的嗎?

有人知道的話麻煩透漏一下,謝謝。

—980806
出處:Robert A. Heinlein《行屍走肉》-摘要(All You Zombies…),

—980806 23:05
為了找出這篇的疑點,我找遍了許多地方,再一個小小的網誌找到了一篇故事,帶給我很大的啟發,因此我認為,人類是無法改變歷史的,請看這篇,「時空旅行無法改變歷史」,這也解釋了這篇的矛盾之處了,同時得到印證。