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無窮彈性碰撞

這是一篇看起來就很唬爛的學術性文章,裡面竟然在嘗試同時用古典力學[1]和量子力學[2]解釋一個人類根本就無法理解的狀況。
在這裡我要先做出聲明,這並不是普通艱深與普通唬爛程度的文章,裡面也並沒有使用詭辯、沒有融入任何悖論,並且會消耗大多數的腦細胞,如果想要完全看懂並提出反駁請先理解
內文中提到的許多原理及理論,在文末會附上註解提供外連,定義部分以及計算過程也會盡可能的附在文末,建議想看懂本文的人要先確定自身已經瞭解文內提到的細節。
首先,直接進入本文的題目:如果有一顆球,從高處落下,與地面碰撞反彈後又落下反彈如此往復進行,它會不會停?單看此題目敘述十分簡顯易懂,但是現在要開始做出比題目還長的補充:假設此小球非常小,在此以一原子來做替代,但為了理解方便後文還是以球代稱。地面質量十分龐大,在此以地球來做替代,不考慮空氣阻力,直接去掉大氣層的存在。但是並不忽略所有其他的因素及外力。
現在要討論的是,這顆球到底「會不會停」?先考慮現實生活中,無論多麼大力丟球,球都會停下來,我們可以理解這是因為空氣阻力的存在,加上地球質量遠大於小球的質量造成。但是現在沒有了空氣阻力,我必須先解釋本文考慮的因素非常細微,提出一個極端的例子:如果兩個無氫鍵[3]的原子在無外力的狀況下相互因萬有引力接近後又因電子的靜電力彈開,如此重複,會呈現簡諧運動[4]並永遠不會停止,而兩原子的平衡點便是斥力與引力相等的位置。
回到文中的狀況,為什麼地球與小球就不會進行這樣的簡諧運動了呢?其實還是會的,只是質量相差太過懸殊,振幅太過微小無法觀察,但是,在文中還是不會忽略此種狀況。
看過以上例子後相信各位可以理解這是不會停止的簡諧運動,但是回到此段第一句的問題,也就是這顆球永遠不會停?這時候必須再引入量子力學中的「震盪[5]」,在大部分科學家的眼中,所謂的「靜止」基本上就是不考慮原子在原地做微小的震盪,換句話說,原子在原地做微小的震盪還是可以算是靜止的。
這時候各位大概可以了解我要表達的是什麼,在這裡我把「靜止」的定義做出不包括震盪的補充。直接切入原題後也就是這顆球「會停」,而且根據定義是在彈起的高度(振幅)不大於震盪的振幅時稱做「停」。
但是這時候又產生了一個問題,這個簡諧運動為什麼又會停了呢?根據剛剛的敘述這應該是個永遠不會停止的簡諧運動,在這裡我要提醒各位再度回到巨觀的世界中,兩物體簡諧運動的振幅通常是在「振幅小於兩物平衡點距離」下做討論的吧,因為在巨觀世界中振幅不能大於兩者的距離,否則那便是碰撞的情況而不是簡諧運動了。因此再回到原子的世界中,這個簡諧運動的前提也就是振幅要夠小才行。
文章至此終於定義告一段落,並解釋完部份的原理。
撰稿至此,赫然發現「震盪」其實就是量子力學中的「共振」,但經過確定後兩者可以通用。
這時候如果要進入題目的計算,想必必須要先得知震盪的振幅,才能算出在什麼時候此反彈才會停止,但是若要算出共振的振幅,可以透過一個與線性震盪器類似的公式[6]求得,但是這又會牽扯入兩個反彈的原子的特性,包括公式內所需要的的衰變率(Γ)及質量(竟是以複數M+iΓ的形式來做計算)
所以在這邊直接再引入「測不準原理[7]」,測不準原理並不只是在「測」中出現,而是物質本身就具無法確定的不確定性,所以也稱為「不確定性原理」,因此本題中雖不考慮觀測者及觀測方法的因素,仍然可以適用此原理。
根據測不準原理直接導出的結論,如果物體運動的位置變化如果在小於約化蒲朗克常數[8]的一半時,這便是沒有意義的(或說做無法觀測的),所以我們可以直接做出結論:振幅小於蒲朗克常數的一半時便是靜止。
現在終於可以進入原題目的計算,以下自行假設實際狀況。
假設小球是一個碳(12C)[9]原子,質量為12amu=1.992646632*10-26kg,初落下高度為1公里,反彈的恢復係數[10]e=0.5,也就是碰撞後的速率變為碰撞前的一半,計算後得到彈起的高度會是落下高度的1/4
速度變化為:1st落下末速為140m/s2nd落下末速為一半70m/s…類推。
n次落下末速為140/2n-1
落下高度變化:1st落下1000m2nd落下2503rd落下125/24th落下125/8…類推。
故:1000Σn=0 1/(4n),當然不會是無限而是暫用這個符號來表示,這是個收斂的級數,每項會趨近於0,第n項為1000/4n-1
設第n項動量與位置的乘積小於約化蒲朗克常數的一半(5.272858409*10-35),代入公式[11]得到n>17.6(計算過程[12]),意即第17次彈跳後停止。
令人驚訝的是,這時候的速度還有0.159cm/s,而高度有58207.66皮米[13](碳原子半徑為67皮米),即已經「測不準」了。
(此段與本文只有少許關聯)在這邊順道計算一些其他東西彈跳的n值,先把算式整理成公式後:n>LOG10(16*M*H*SQRT(2*9.8*H)/h)/(3*LOG10(2))(可直接複製至excel用,M=質量(kg)H=高度(m)h=約化蒲朗克常數)
可以得到有趣的數字:

–>

質量M
落下高度H
n最小整數值
1公克
1公分
35
1公斤
1公尺
42
1公噸
1公里
50
地球質量
地球半徑
80
太陽質量
1AU
94

–>

(當然了,後面兩項並不是帶入公式這麼單純的,純屬趣味。)
計算的部分先告一段落,現在進入無限的領域,理論上來講,雖然我們定義他停了,但是它可能還會繼續不斷的細微運動(或是共振),所以這跳到了另一個問題:到底要多久才會停?現在只考慮牛頓力學的部分,根據力學能守恆我們可以計算出第n次的反彈速度為en(2gh)1/2,第n次反彈後在空中停留的時間為2en(2h/g)1/2,總時間為T=(2h/g)1/2(1+2Σn=1en)=(1+e/1-e)(2h/g)1/2e為恢復係數 (計算[14])
所以現在根據前文討論的結果,總時間為T,但是我們知道落下的高度會逐漸趨近於0,但卻永遠不會為0→所以它永遠不會停,因為永遠可以落下。
再回到純數學的部分,剛剛算出的T時是總時間,因此我們知道第k+1次會比第k次的時候更接近T,第k+2次也會比第k+1次的時候更接近T…類推,此級數會不斷逼近T卻永遠不會到達,這十分類似於阿基里斯與烏龜賽跑的悖論[15]
這時候回到現實,如果我們坐著時光機直接跳到T時去,看到的到底會是什麼呢?
很明顯,這是一個無窮級數的不可靠之處,根據公式可以求出一個確切的數值,但其實也可以說這數值並不存在或沒有意義。
要破解這道謎題,就必須再往回看,把前文提到的測不準原理一併應用進去,這便是為什麼這是同一篇文章的理由。
根據古典力學、牛頓力學它會永遠運動。
根據測不準原理、量子力學它會停。
根據無窮數列、無窮級數它不會停,但可以求總時間逼近值。
」表示根據得到。
這些東西單獨看都不好理解,但大家卻習以為常;合再一起看不可置信,卻又合乎邏輯,因為定義各自不完整,但合在一起後卻可以相互補充。
至於如果你要問我關於無窮的問題,我會說「人的理解是有限的,所以無法探討無限的問題」來帶過,雖然敷衍,但是這才是最正確的解釋。
註釋:
[1] 古典力學:以牛頓運動定律為基礎,在巨觀世界和低速狀態下,研究物體運動的基要學術。
[2] 量子力學:描寫微觀物質的一個物理學理論,與相對論一起被認為是現代物理學的兩大基本支柱,許多物理學理論和科學如原子物理學、固體物理學、核物理學和粒子物理學以及其它相關的學科都是以量子力學為基礎。
[3] 氫鍵:是分子間作用力(凡得瓦力)的一種,是一種永久偶極之間的作用力。
[4] 簡諧運動:進行簡諧運動時,物體所受的力跟位移成正比,並且力總是指向平衡位置。
[5] 共振:量子力學與量子場論中,共振可能出現在與古典物理相似的場合。
[6] Γ是粒子衰變率,而Ω由粒子質量M取代,頻率為ω
[7] 測不準原理:指在一個量子力學系統中,一個粒子的位置和它的動量不可被同時確定。
[8] 約化蒲朗克常數
[9] :非金屬元素,位於元素周期表的第二周期IVA族。它的化學符號是C,它的原子序數是6,電子構型為[He]2s22p2
[10] 恢復係數:兩個物體在碰撞時,恢復期與形變期的衝量的比率稱為恢復係數。
[11]
[12] 質量以M表示,約化蒲朗克常數的一半以h’表示,則:
M*(19600/2n-1)*( 1000/4n-1)>=h’ (移項並整理)
→23n>(1.568*108*m)/h’ (同取log2後除以3)
→n>log(1.568*108*m/h’)/3log2
代入原式mh後得到n>18.5726。
[13] 皮米:皮米(picometerpm)是長度單位,1皮米相當於1米的一兆(即一萬億)分之一。有時在原子物理學中稱為微微米(micromicron
[14] 第一次與地面接觸時的速度 v0=(2gh)1/2
第一次反彈速度 v1=ev0
第二次反彈速度 v2=ev1
n次反彈速度vn=evn-1 vn=evn-1=e2vn-2=…=env0=en(2gh)1/2
n次觸地後停留空中時間 tn=2vn/g=en(2h/g)1/2
總時間 T= (2h/g)1/2(1+2Σn=1en)=(1+e/1-e)(2h/g)1/2
[15] 阿奇里斯悖論:動得最慢的物體不會被動得最快的物體追上。由於追趕者首先應該達到被追者出發之點,此時被追者已經往前走了一段距離。因此被追者總是在追趕者前面。
本文題目及[14]解法來自:《1994~2009年國際物理奧林匹亞競賽國家代表隊選拔考試 初選試題及解答彙編》,p.36第十題。
有關無窮級數的某小部分想法來自:《毛起來說三角》,Eli Maor,湖守仁譯,天下遠見出版股份有限公司。
在此感謝我的暑假作業。
另外,本文構思、撰稿、查資料、複審、校稿共花了至少七個小時,感謝您閱讀至此,歡迎提出批評及修正。

在某處有能量轉換為質量

根據E=MC平方,質能可以互換。

全宇宙觀點:
世界上恆星進行核融合及人類使用核分裂發電皆是在消耗世界上的質量,根據能量不滅,能量並不會無端損失,只轉換成熱能散失,那麼所有散失的熱能又散失何方?
宇宙至少一百億年歲月,質量還未損失完,能量又不斷在散失,故我推測,在某處有能量轉換為質量,意為E=MC平方為一可逆反應。

試著證明:假設質量可轉換為能量,能量不可轉換為質量。那麼所有質量總有消耗殆盡的一天(不論宇宙是否有足夠時間始質量消耗完畢),能量將會充斥於整個宇宙,宇宙也將成未一純粹充斥能量的空間,這使得能量已無存在意義。意謂所有物質終將消失。
從此推論可推測,所謂宇宙誕生前的一團火球只是「能量」,從此之後質量開始轉為能量(正反應),能量同時又變回質量(逆反應),在宇宙誕生前期,正反應極大於逆反應。在轉換為能量的同時,熱能向外逸失,使宇宙不斷膨脹,產生「空間」。

針對宇宙後期會開始收縮或繼續無限膨脹之理論:在宇宙後期此反應因空間不斷增大,能量的結合將會減少,正反應減少,又根據萬有引力定律,轉換後的質量會不斷集中結合,至後期因密度過低的能量,逆反應速率將急遽增加,能量轉換為質量的速率遠大於質量轉換為能量的速率,質量不斷集中、能量不斷減少將使得空間隨著變化而縮小,至最後期,將會形成一無空間可言的「質量」,又瞬間轉為能量回到宇宙誕生之初。故我認為宇宙是會縮小而不是無限膨脹。

在下淺見,純粹用國中生所學到知識判斷推測,無法確保其正確性及參考價值,若有任何想法及意見還請不吝指教,謝謝。

—20100808
在《牛頓》雜誌第34號第44.45頁提到了部分幾乎相同的概念。
以下為引用:「宇宙之始,並沒有任何可稱為物質的東西]。根據目前所瞭解的理論推測,當時的宇宙只是真空,充滿了不明身分的能量。該能量讓宇宙以急遽的速度膨脹,這就是所謂的『暴漲』。但是,暴漲突然結束了。而在此之前讓宇宙急速膨脹的能量,因為E=mc^2而轉換為質量的型態。就這樣,宇宙中誕生了物質。這就是宇宙最早發生的事件,亦即『大霹靂』。如此所產生的物質就是恆星、地球和我們的身體等等。現在連我們從哪裡來,都可以用愛因斯坦的關係是來說明。」

世無相等

結論:世界上沒有相等的任何人事物。世無相等

如果有兩塊金屬,是不太可能發生一樣重的事情,也就是沒有任何的誤差,但是若是連金屬分子都一樣多呢,曾經卡在這部份很久。
事實上,「相等」包含的意義是,兩種物質所存在的時間空間不同。
但是既然已經分出是兩種物質了,那就註定這是不同的東西。
如果是兩個相同的碳原子,或許有可能重量一樣,但是所存在的空間當然不同,存在的時間也不一樣,這是一定的(以此宇宙的觀點)。
或許可能有另一個宇宙,在那邊兩者物體可以重疊,時間也可以重疊,那麼或許真的會發生相等的情況,但,那是另一個世界了,所以結論為世無相等。

這篇文章以及多重宇宙、每個宇宙有各自物理定律的說法是我在2006.12.25提出來的,在近期的科學人雜誌也有相關的「平行宇宙」的文章,印證了我的想法,因此也在此提出。

時間點線面

時間點、時間軸、時間平面,這是基於「」的理論而提出。

首先我要先解釋,有人認為時間平面是由許多時間斷層所構成,意思是每個時間點與時間點之間並不存在著連結,是如同動畫原理般以每秒無限多張的相片所構成(比喻),但在此時間斷層中卻存在著許多歧意,若時間點(簡稱點)與點之間並無連結,那所謂人的記憶是如何延續下去?如此多的紛爭並不再介紹,本文是根據此理論而衍生出來的,因此事先聲明。

時間點在前文中以解釋過,在時間軸上的許多時間點並不代表一段時間,已文字來理解似乎很理所當然,那是因為就定義來講是非常簡單的(用數學打個比喻:若此函數的定義域以構式法來表示很簡單,以{點}來表示即可,但若要以表列法來表示似乎卻是”接近”不可能的。),要以一秒呢,還是一億分之一秒來表示呢?都不合理,真正的表示法可以以1單位時間來表示,或是{x│x為實數}來表示,但這又回到了定義的問題,也就是並沒有方法可以真正表示出「時間點」的確切位置。若我說「現在」,那麼在我打到這個字時,那時的「現在」,已經是「現在」的「過去」,既然如此,那就沒有辦法來表示「現在」這個時間點,也就是定義並不完整,但「過去」及「未來」,卻可以表示,因為過去及未來不會再更動,或許過去不斷增加,未來不斷減少,但我們知道過去是屬於整條時間軸(數線)的一部份,而更動的地方只在接近原點的部份,當我們重新定義一個「假原點」,便可以表示整個數線的值,例如,定義假原點西元元年一月一日零時零分零秒零毫秒..等為原點,那麼過去的一段時間,所謂的「現在」,便表示為2009年7月12日3時06分50秒,當然這已成為過去。因此人們”發現”的「時間」是一個偉大的要素,而人們”發明”的「時間」是一個偉大的定義,少了後者無所謂,但少了前者似乎一切就失去了原則?(“偉大”為主觀因素,不予置評。)

時間軸的概念便是數線的概念,省略。

時間平面在第二段已概略敘述過,類似於平行宇宙的概念,因人類只能在無限(指沒有限制)的規則中找出有限(指數量)的規則,因此便定義出此概念,就像超出自然理解範圍的叫「超自然」此道理。
這邊有一個有趣的現象,若是時間平面真為一平面,那麼許多時間所成的集合不就是一立體圖形?意思近似於,一張紙為一時間平面,那麼一疊紙所成的時間平面集合不就成了「時間空間」?當然,這牽扯到時間平面的定義問題,但既然定義不完整就該把定義合理化,或用此定義去解釋其他無法解釋的現象。
證明:若時間平面屬於平面,則無限多時間平面形成無限大時間空間,這與時間為一數線相違背,故時間平面非一平面。
在這邊比較好理解的解釋方式是:「時間平面」中的「平面」兩字並不代表真的平面,而使以所知的辭彙表示(或譬喻)未知的事物,在未聲明完全的情況下產生的誤解。
又牽扯到定義之問題,以超出討論範圍,有興趣者請自行思考,歡迎提出意見修正。

宇宙三次方理論

空間以及時間,這兩個宇宙主要的構成元素,是大家共同認為的。
若簡化成「數線」來表示,那麼時間便是「數線」,原點可以定義成現在(這裡的”現在”指的是”點”而不是一段”線段”,當然這個點隨時在移動,無法以數字或任何語言表示,故以”現在”代稱。),而右方正向定義為未來,左方定義為過去,皆為無限延伸的數線(不考慮是否加入宇宙的起始與結束,故以無限來表示),代表時間。
而空間,應該用3D立體軸來表示,X.Y.Z三條數線所組成的象限,在某點(x,y,z),唯空間的唯一位置,而沒有重複。

蟲洞的概念也可以用這種方式來解釋,黑洞為入口,白洞為出口,在時間(數線)上的扭曲,以及立體象限中的扭曲,造成可以跨越時間及空間的現象,此為時光旅行及太空旅行的模型。

正題,既然時間已數線(暫稱1D)來表示,空間以立體象限(3D)來表示,所以我認為事實上還有一大元素是被忽略的(2D),這就是:質量與能量。若此宇宙只存在著空間以及時間,沒有質量及能量的話,空間的存在就失去意義,而產生的原因也成為無解,這也是構成的元素之一。而質量-能量的變化則可以以直角座標來表示,兩者呈反向變動(這裡的反向變動並不指反比xy=k,或x+y=k之類似概念,而是純粹解釋質量及能量可以互相轉換的理論)。

因此我認為,時間、質量與能量、空間,分別代表1D、2D、3D,意謂宇宙三元素,擺脫時間及空間代表的宇宙限制。宇宙三次方理論