內輪差面積計算與證明

由於此文包含大量數學式,有部分內容無法上載只能改以截圖方式,解析度不高,若有興趣仔細觀賞者請下載完整PDF檔(852KB)(請點此)
前言:首先,我認為這是一個很有趣、並相當有難度的題目,對於自身喜歡挑戰數學或物理題目的讀者這是很適合深入研究的一個生活問題,建議各位可以自己先動手算算看,再參考本人的解法,若是先看過解法後在思考會容易的許多,而本題的困難度多數來自於思考、概念部分是比較值得挑戰的。適合高中以上。
雖說這道題目是在我腦海中出現的,但搜尋後網路上也是有人討論過這個部分,但大多數都是將問題簡化過後再作討論,甚至有論文根本計算錯誤,這在文末會加以探討。

問題
請求出大車轉彎所造成之內輪差危險區域面積,如下圖一紅色部分。

可能的考題
大型車輛如公車、聯結車等前後輪間距較長的車輛在轉彎時容易因前後輪軌跡不一致形成的內輪差危害路人安全(如下圖一所示)。假設內側前輪固定轉向角繞1/4圓作等速率圓周運動旋轉,內側後輪對地面只有平行車身之純轉動及以接觸面為軸之垂直轉動*,內側前輪則只有平行車身之純轉動,轉向後作等速度直線運動直到無限遠。試自行假設參數並逼近內輪差所造成之區域面積。

*「以接觸面為軸之垂直轉動」:示意圖如(圖二)。
(圖一) (圖二)

因為前提為假設內側前輪(以下皆省略內側)作圓周運動,因此前輪軌跡方程式十分容易處理,而關鍵在於後輪軌跡,只要求出方程式便可藉由積分得到面積。但後輪軌跡不為圓形、又因沒有固定焦點亦不為橢圓或雙曲線,經繪圖後才得知為遞迴關係且此遞迴無法求得特徵方程式。
繪圖方式敘述如下(圖三):

(圖三)

在平面座標系上以(0,R)為圓心,半徑R為迴轉半徑作1/4圓O為前輪軌跡,令(R,R)為P0為轉彎前之前輪位置,過P0作圓之切線往+y方向延長a為兩輪間距得到Q0(R,R+a)為轉彎前後輪位置。令開始轉彎後下一瞬間前輪位置P1於圓O上任一點,連線線段P1Q0並作Q1於此線段上且線段P1Q1=a得到新後輪位置Q1。
依照此方式在圓上不斷取下一瞬間之前輪位置,便可得到所有後輪位置之軌跡。此方法證明如下:

(圖四)



(圖五)



(圖六)







(圖七)

內輪差未解問題
依常理判斷在a大於R時仍可作小半徑之轉彎,但問題出在內輪差公式是利用直角三角形來作推導,在a大於R時公式失效,亦可說無法判斷轉向角。這是因為公式是利用圖四或圖七的方式假設前輪及後輪之軌跡已成一穩定之圓形來作推導,但在a大於R之情況下儘管前輪軌跡是圓形,後輪卻不是,因此必須用另外的方式來證明,目前無解。
此問題僅出在內輪差公式及前文利用圖四之證明,理論上證明結果可以引申至a大於R之情況,但在內輪差公式中則不行。但此問題並未影響到原題目之計算,因在前輪軌跡未超過1/4圓之前後輪皆不會往反向移動,因此結果不變。
目前無法模擬此種a大於R之情況,靜待高手解答,若有突破必定更新。

後記
起初我在想這個問題時不知道該用物理觀念解題或數學,思考過很久前輪驅動、後輪驅動或四輪驅動的狀況,考慮進轉彎時所受向心力及離心力力矩、角動量、摩擦力等複雜的因素,比較值得一提的是每一瞬間之移動可以先將瞬時切線速度分解成垂直車身和平行車身之速度,然後將垂直車身之速度當作以後輪為軸旋轉的切線速度,而平行速度則想像成在旋轉一小扇形後車身向前平移至前輪達原圓形軌跡。我認為這樣的方法也是可以證明的。
這道題目我花了五天,雖然不是日日夜夜都在思考和計算,但我相信「五天」這個數字是足以形容這題的難度的,如果你是看完後才自己試著解決相信都可以在三個小時內完成。但從零開始確實不是一件簡單的事。
在原題目中的描述與假設都是我自行設計的,如果你有興趣可以自行改變那些假設,相信這樣的可變性及困難度都會有所不同。
本文中除(圖一)(圖二)外皆為小畫家繪圖,因為對其他作圖軟體不熟悉所以只能用比較簡陋的示意圖,請見諒。
而經過這樣的證明與計算,這道題目仍然不是完全解決了,就如上面所描述的情況,我還是無法想像那會是怎樣的軌跡,再加上我手邊沒有機車或什麼車可以做這樣的實驗來模擬(要讓前輪作小半徑圓周運動),所以這確實是個暫時無解的問題,如果看到這裡你有什麼想法都歡迎提出來。我目前有試過多套物理模擬軟體,但我還是不知道要怎麼輸入這樣前後輪的關係去模擬,此題待解。

參考文獻與批評
1. 交通部海報(圖一)
2. 輪胎側面圖(圖二)
3. 交通安全 – 內輪差
4. 內輪差 – 百度百科
5. 圖解內輪差與外輪差
6. 小朋友的內輪差
7. 連仁宗車輛的轉向原理與穩定性
9. 理工生學開車
10. 公車規格圖
11. 信義路路寬規格

在「小朋友的內輪差」一文中便是以同心圓的方式取的內輪差,結果與我的相同,據此文所說這是一提大陸的高中數學應用競賽的題目:内轮差是车辆转弯时前内轮的转弯半径与后内轮的转弯半径之差。车辆转弯时,前轮转向,前、 后轮的运动轨迹不重合,后轮轨迹会向所转方向的内侧偏移,产生内轮差,车辆的前后轴距越长,偏移量越大,即内轮差越大。行车中如果只注意前轮能够通过而忘 记内轮差,就可能造成后轮驶出路面或与其他物体碰撞的事故。右图中可见一辆货车右转弯时,前、后轮内轮的轨迹。如果汽车的前后轴距为5米,右转弯时前轮的转向角为30度,求右前轮和右后轮的内轮差,并依此对站在马路拐弯处的行人提出安全建议。前文的題目便是參考此題修改而成,這道題目比較簡單因為只要求取內輪差,這以三角函數便能解決,不過仍須足夠的物理概念。

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