無窮彈性碰撞

這是一篇看起來就很唬爛的學術性文章,裡面竟然在嘗試同時用古典力學[1]和量子力學[2]解釋一個人類根本就無法理解的狀況。
在這裡我要先做出聲明,這並不是普通艱深與普通唬爛程度的文章,裡面也並沒有使用詭辯、沒有融入任何悖論,並且會消耗大多數的腦細胞,如果想要完全看懂並提出反駁請先理解
內文中提到的許多原理及理論,在文末會附上註解提供外連,定義部分以及計算過程也會盡可能的附在文末,建議想看懂本文的人要先確定自身已經瞭解文內提到的細節。
首先,直接進入本文的題目:如果有一顆球,從高處落下,與地面碰撞反彈後又落下反彈如此往復進行,它會不會停?單看此題目敘述十分簡顯易懂,但是現在要開始做出比題目還長的補充:假設此小球非常小,在此以一原子來做替代,但為了理解方便後文還是以球代稱。地面質量十分龐大,在此以地球來做替代,不考慮空氣阻力,直接去掉大氣層的存在。但是並不忽略所有其他的因素及外力。
現在要討論的是,這顆球到底「會不會停」?先考慮現實生活中,無論多麼大力丟球,球都會停下來,我們可以理解這是因為空氣阻力的存在,加上地球質量遠大於小球的質量造成。但是現在沒有了空氣阻力,我必須先解釋本文考慮的因素非常細微,提出一個極端的例子:如果兩個無氫鍵[3]的原子在無外力的狀況下相互因萬有引力接近後又因電子的靜電力彈開,如此重複,會呈現簡諧運動[4]並永遠不會停止,而兩原子的平衡點便是斥力與引力相等的位置。
回到文中的狀況,為什麼地球與小球就不會進行這樣的簡諧運動了呢?其實還是會的,只是質量相差太過懸殊,振幅太過微小無法觀察,但是,在文中還是不會忽略此種狀況。
看過以上例子後相信各位可以理解這是不會停止的簡諧運動,但是回到此段第一句的問題,也就是這顆球永遠不會停?這時候必須再引入量子力學中的「震盪[5]」,在大部分科學家的眼中,所謂的「靜止」基本上就是不考慮原子在原地做微小的震盪,換句話說,原子在原地做微小的震盪還是可以算是靜止的。
這時候各位大概可以了解我要表達的是什麼,在這裡我把「靜止」的定義做出不包括震盪的補充。直接切入原題後也就是這顆球「會停」,而且根據定義是在彈起的高度(振幅)不大於震盪的振幅時稱做「停」。
但是這時候又產生了一個問題,這個簡諧運動為什麼又會停了呢?根據剛剛的敘述這應該是個永遠不會停止的簡諧運動,在這裡我要提醒各位再度回到巨觀的世界中,兩物體簡諧運動的振幅通常是在「振幅小於兩物平衡點距離」下做討論的吧,因為在巨觀世界中振幅不能大於兩者的距離,否則那便是碰撞的情況而不是簡諧運動了。因此再回到原子的世界中,這個簡諧運動的前提也就是振幅要夠小才行。
文章至此終於定義告一段落,並解釋完部份的原理。
撰稿至此,赫然發現「震盪」其實就是量子力學中的「共振」,但經過確定後兩者可以通用。
這時候如果要進入題目的計算,想必必須要先得知震盪的振幅,才能算出在什麼時候此反彈才會停止,但是若要算出共振的振幅,可以透過一個與線性震盪器類似的公式[6]求得,但是這又會牽扯入兩個反彈的原子的特性,包括公式內所需要的的衰變率(Γ)及質量(竟是以複數M+iΓ的形式來做計算)
所以在這邊直接再引入「測不準原理[7]」,測不準原理並不只是在「測」中出現,而是物質本身就具無法確定的不確定性,所以也稱為「不確定性原理」,因此本題中雖不考慮觀測者及觀測方法的因素,仍然可以適用此原理。
根據測不準原理直接導出的結論,如果物體運動的位置變化如果在小於約化蒲朗克常數[8]的一半時,這便是沒有意義的(或說做無法觀測的),所以我們可以直接做出結論:振幅小於蒲朗克常數的一半時便是靜止。
現在終於可以進入原題目的計算,以下自行假設實際狀況。
假設小球是一個碳(12C)[9]原子,質量為12amu=1.992646632*10-26kg,初落下高度為1公里,反彈的恢復係數[10]e=0.5,也就是碰撞後的速率變為碰撞前的一半,計算後得到彈起的高度會是落下高度的1/4
速度變化為:1st落下末速為140m/s2nd落下末速為一半70m/s…類推。
n次落下末速為140/2n-1
落下高度變化:1st落下1000m2nd落下2503rd落下125/24th落下125/8…類推。
故:1000Σn=0 1/(4n),當然不會是無限而是暫用這個符號來表示,這是個收斂的級數,每項會趨近於0,第n項為1000/4n-1
設第n項動量與位置的乘積小於約化蒲朗克常數的一半(5.272858409*10-35),代入公式[11]得到n>17.6(計算過程[12]),意即第17次彈跳後停止。
令人驚訝的是,這時候的速度還有0.159cm/s,而高度有58207.66皮米[13](碳原子半徑為67皮米),即已經「測不準」了。
(此段與本文只有少許關聯)在這邊順道計算一些其他東西彈跳的n值,先把算式整理成公式後:n>LOG10(16*M*H*SQRT(2*9.8*H)/h)/(3*LOG10(2))(可直接複製至excel用,M=質量(kg)H=高度(m)h=約化蒲朗克常數)
可以得到有趣的數字:

–>

質量M
落下高度H
n最小整數值
1公克
1公分
35
1公斤
1公尺
42
1公噸
1公里
50
地球質量
地球半徑
80
太陽質量
1AU
94

–>

(當然了,後面兩項並不是帶入公式這麼單純的,純屬趣味。)
計算的部分先告一段落,現在進入無限的領域,理論上來講,雖然我們定義他停了,但是它可能還會繼續不斷的細微運動(或是共振),所以這跳到了另一個問題:到底要多久才會停?現在只考慮牛頓力學的部分,根據力學能守恆我們可以計算出第n次的反彈速度為en(2gh)1/2,第n次反彈後在空中停留的時間為2en(2h/g)1/2,總時間為T=(2h/g)1/2(1+2Σn=1en)=(1+e/1-e)(2h/g)1/2e為恢復係數 (計算[14])
所以現在根據前文討論的結果,總時間為T,但是我們知道落下的高度會逐漸趨近於0,但卻永遠不會為0→所以它永遠不會停,因為永遠可以落下。
再回到純數學的部分,剛剛算出的T時是總時間,因此我們知道第k+1次會比第k次的時候更接近T,第k+2次也會比第k+1次的時候更接近T…類推,此級數會不斷逼近T卻永遠不會到達,這十分類似於阿基里斯與烏龜賽跑的悖論[15]
這時候回到現實,如果我們坐著時光機直接跳到T時去,看到的到底會是什麼呢?
很明顯,這是一個無窮級數的不可靠之處,根據公式可以求出一個確切的數值,但其實也可以說這數值並不存在或沒有意義。
要破解這道謎題,就必須再往回看,把前文提到的測不準原理一併應用進去,這便是為什麼這是同一篇文章的理由。
根據古典力學、牛頓力學它會永遠運動。
根據測不準原理、量子力學它會停。
根據無窮數列、無窮級數它不會停,但可以求總時間逼近值。
」表示根據得到。
這些東西單獨看都不好理解,但大家卻習以為常;合再一起看不可置信,卻又合乎邏輯,因為定義各自不完整,但合在一起後卻可以相互補充。
至於如果你要問我關於無窮的問題,我會說「人的理解是有限的,所以無法探討無限的問題」來帶過,雖然敷衍,但是這才是最正確的解釋。
註釋:
[1] 古典力學:以牛頓運動定律為基礎,在巨觀世界和低速狀態下,研究物體運動的基要學術。
[2] 量子力學:描寫微觀物質的一個物理學理論,與相對論一起被認為是現代物理學的兩大基本支柱,許多物理學理論和科學如原子物理學、固體物理學、核物理學和粒子物理學以及其它相關的學科都是以量子力學為基礎。
[3] 氫鍵:是分子間作用力(凡得瓦力)的一種,是一種永久偶極之間的作用力。
[4] 簡諧運動:進行簡諧運動時,物體所受的力跟位移成正比,並且力總是指向平衡位置。
[5] 共振:量子力學與量子場論中,共振可能出現在與古典物理相似的場合。
[6] Γ是粒子衰變率,而Ω由粒子質量M取代,頻率為ω
[7] 測不準原理:指在一個量子力學系統中,一個粒子的位置和它的動量不可被同時確定。
[8] 約化蒲朗克常數
[9] :非金屬元素,位於元素周期表的第二周期IVA族。它的化學符號是C,它的原子序數是6,電子構型為[He]2s22p2
[10] 恢復係數:兩個物體在碰撞時,恢復期與形變期的衝量的比率稱為恢復係數。
[11]
[12] 質量以M表示,約化蒲朗克常數的一半以h’表示,則:
M*(19600/2n-1)*( 1000/4n-1)>=h’ (移項並整理)
→23n>(1.568*108*m)/h’ (同取log2後除以3)
→n>log(1.568*108*m/h’)/3log2
代入原式mh後得到n>18.5726。
[13] 皮米:皮米(picometerpm)是長度單位,1皮米相當於1米的一兆(即一萬億)分之一。有時在原子物理學中稱為微微米(micromicron
[14] 第一次與地面接觸時的速度 v0=(2gh)1/2
第一次反彈速度 v1=ev0
第二次反彈速度 v2=ev1
n次反彈速度vn=evn-1 vn=evn-1=e2vn-2=…=env0=en(2gh)1/2
n次觸地後停留空中時間 tn=2vn/g=en(2h/g)1/2
總時間 T= (2h/g)1/2(1+2Σn=1en)=(1+e/1-e)(2h/g)1/2
[15] 阿奇里斯悖論:動得最慢的物體不會被動得最快的物體追上。由於追趕者首先應該達到被追者出發之點,此時被追者已經往前走了一段距離。因此被追者總是在追趕者前面。
本文題目及[14]解法來自:《1994~2009年國際物理奧林匹亞競賽國家代表隊選拔考試 初選試題及解答彙編》,p.36第十題。
有關無窮級數的某小部分想法來自:《毛起來說三角》,Eli Maor,湖守仁譯,天下遠見出版股份有限公司。
在此感謝我的暑假作業。
另外,本文構思、撰稿、查資料、複審、校稿共花了至少七個小時,感謝您閱讀至此,歡迎提出批評及修正。

在〈無窮彈性碰撞〉中有 4 則留言

  1. 我不太懂為什麼取的單位確定就不能再細分下去了,你的意思是,如果要移動100cm,那麼在每次移動1cm後一定追得上嗎? 但是這個悖論的重點是在數字的減少不是單位的改變,可以的話麻煩你舉個例子,謝謝。

  2. 我覺得這樣的話這像是去比物理辯論時有一組報告magnetic spring的時候畫出的圖形,的確當時對方是以簡諧運動去解釋的。若把這題目的作用力對應到本文章,斥力的部分由磁鐵的斥力取代了靜電力,這麼說兩者應該是相通的,應該可以說是簡諧運動。

    還有就是因為取的單位已經確定而不是一個可以無限細分下去的,所以有限的距離一定可以在有限次移動這個單位之後追上。不知道這樣有沒有解決到你的問題。

  3. 首先感謝你的意見

    我要在次強調在這篇文章中考慮進絕大多數的因素。
    不知道你對「接觸」下的是什麼定義,但是事實是這樣:不管什麼東西之間絕不可能有接觸到,簡單來說,我們會把原子核的"接觸"稱作"融合",電子雲的"重合"稱做"鍵結",你所謂的接觸如果是電子雲相切,那似乎又不太可能存在,所以我認為在微觀的角度下討論接觸與否是沒有意義的,也可以說成是我不認為兩物質會有所接觸。
    所以從上面的說法看下來,我們其實可以把小球掉落地面當作是"地球於小球"的簡諧運動,但是因為初始振福遠大於平衡點的距離,因此落下高度不斷減小直到平衡(也就是"靜止"),在這簡諧運動的情況下(或是說"趨近簡諧運動的過程中"),我們基本上都把地球的振幅當作趨近於0,而討論的是小球的振幅的減少(落下高度的減少),所以我並不認為說成是簡諧運動有哪裡不妥,可能是因為振幅遠大於平衡點讓你產生誤解。

    你說到"把兩者的距離以這個"單位"切分,且為有限個",這句話我覺得有問題,兩者間的距離應該是可以無限細分下去的(不論距離是否有限長)。
    然後整段看起來你是在嘗試推翻這個悖論,根據維基百科的說法可以用微分的方式來證明推翻,我個人也不認同這個悖論的存在,所以不管你是以什麼方式來推翻我都沒有必要反駁你,但是也感謝你提出不同的推翻方式。

    第三段你提到的定義不同造成對"停"不同的見解和我的觀點應該是一樣的,但是我補充一點:古典力學是巨觀、低速,量子力學則是在微觀的情況下。當然這也不是什麼明確的定義,但是卻也同時讓我們可以加以利用。

  4. 把小球落下說成是簡諧運動可能不妥
    想法:小球落下是有與地球做接觸的,反彈時使其接近的為超距力的萬有引力,遠離的是屬於接觸力的正向力,在落下時僅有萬有引力;平衡位置是若把小球置於此,小球為靜止,偏離平衡位置才會移動,但並沒有此位置存在,而簡諧運動必會存在著一個平衡位置,作用力與和平衡位置的距離成正比。

    對於阿基里斯的那個悖論我也有看法:
    在移動的兩個物體每"次"(把兩者的頻率設定成相同)(不是以時間記)的移動量是數個"單位"
    而把兩者的距離以這個"單位"切分,且為有限個(距離並非無限長)
    既然每次的移動不能是非正整數個單位(也就是一次只能移動整數個單位),就一定能在有限次數內追上,而不是追不上的。(這種看法和不考慮移動"單位"的無窮數列截然不同,這是因為我考慮的情況是阿基里斯所提出烏龜和人的例子,烏龜和人並不是 "連續"的移動,而是不連續的一次一步。)

    還有就是根據不同的理論對於停或不停的結論有不同導因於其對於停的定義在動量方面不同:
    古典力學中(數學的無窮級數、數列亦同),一物體的動量(或說速率)"為零"時稱為靜止。
    量子力學中,根據文章的注釋十,也就是測不準原理,其動量是可以"大於零"的。

    我有想到其他的話改天再補充
    有些部份我可能表達的不太好,也許會看不懂,不能理解我的意思的就再討論吧

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